[7.4:56] Calcule
integral 1x^2+k d x
considerando diversos casos para a constante k.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral 1x^2+k,dx
para diferentes sinais da constante k. O conteúdo aqui é a integração de uma função racional quadrática. Vamos tratar separadamente os casos k>0, k=0 e k<0.

Passo 2

Caso k>0. Neste caso escrevemos k=a^2 com a=raizk. A integral padrão é
integral 1x^2+a^2,dx = 1aarctan!l(tfracxar)+C
Substituindo a=raizk obtemos
integral 1x^2+k,dx = 1raizkarctan!l(xraizkr)+C

Passo 3

Caso k=0. A integral reduz-se a
integral 1x^2,dx = integral x^-2,dx = -,1x+C

Passo 4

Caso k<0. Escrevemos k=-a^2 com a=raiz-,k. Então a integral fica
integral 1x^2-a^2,dx
Usando frações parciais:
1x^2-a^2 =12al(1x-a-1x+ar),
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integral 1x^2-a^2,dx =12alnl|x-ax+ar|+C
Substituindo a=raiz-,k resulta
integral 1x^2+k,dx =12raiz-,klnl|x-raiz-,kx+raiz-,kr|+C

Resposta

Para integral 1x^2+k,dx:
1raizkarctan!(tfracxraizk)+C,&k>0,[6pt] -1x+C,&k=0,[6pt] 12raiz-kln|tfracx-raiz-kx+raiz-k|+C,&k<0 ]

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