Calcule as integrais impróprias em intervalos ilimitados. Resolva os exercícios sem omitir nenhuma passagem em seus cálculos. Respostas sem resolução e/ou justificativa não serão consideradas. Data máxima de entrega: 29/05/2025 até 14:00 horas
integral0^infty x^2raiz1+x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^inftyx^2raiz1+x^3,dx.
O conteúdo é integração imprópria em intervalo ilimitado e vamos usar substituição para encontrar a primitiva e depois analisar o limite quando o limite superior tende a infinito.

Passo 2

Antes de tudo, verificamos o comportamento da função integrando em x=0 e em xtoinfty.
– Em x=0,
x^2raiz1+x^3approx x^2, que é integrável perto de zero.
– Em xtoinfty,
x^2raiz1+x^3sim x^2x^3/2=x^1/2, cujo integral impróprio diverge.
Isso já sugere divergência, mas vamos fazer tudo rigorosamente.

Passo 3

Fazemos a substituição
t = 1 + x^3, dt = 3x^2,dxLongrightarrow x^2,dx = dt3
Quando x=0, t=1. Quando x=R, t=1+R^3.

Passo 4

A integral de 0 a R fica
integral0^Rx^2raiz1+x^3,dx =13integral1^1+R^3t^-1/2,dt =13cdot 2l(t^1/2r)|t=1^t=1+R^3 =23l(raiz1+R^3-1r)

Passo 5

Agora avaliamos o limite quando Rtoinfty:
limRtoinfty23l(raiz1+R^3-1r) =23limRtoinftyR^3/2 =+infty
Portanto a integral imprópria diverge.

Resposta

A integral diverge, isto é,
integral0^inftyx^2raiz1+x^3,dx = +infty

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