Calcule as derivadas parciais de 1^ a ordem das seguintes funções:
f(x, y)=x^2 yx^2+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=x^2yx^2+2y^2
O conteúdo envolvido é a regra do quociente para derivadas parciais: se f(x,y)=N(x,y)D(x,y), então
partial fpartial x =partial Npartial x,D - N,partial Dpartial xD^2, partial fpartial y =partial Npartial y,D - N,partial Dpartial yD^2
Aqui temos N(x,y)=x^2y e D(x,y)=x^2+2y^2.

Passo 2

Para partial fpartial x:
partial Npartial x=2xy, partial Dpartial x=2x
Aplicando a regra do quociente,
partial fpartial x =(2xy)(x^2+2y^2) - (x^2y)(2x)(x^2+2y^2)^2 =2x^3y+4xy^3-2x^3y(x^2+2y^2)^2 =4xy^3(x^2+2y^2)^2

Passo 3

Para partial fpartial y:
partial Npartial y=x^2, partial Dpartial y=4y
Pela regra do quociente,
partial fpartial y =(x^2)(x^2+2y^2) - (x^2y)(4y)(x^2+2y^2)^2 =x^4+2x^2y^2-4x^2y^2(x^2+2y^2)^2 =x^4-2x^2y^2(x^2+2y^2)^2

Resposta

partial fpartial x =4xy^3(x^2+2y^2)^2, partial fpartial y =x^4-2x^2y^2(x^2+2y^2)^2

Exercícios relacionados