Use qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Se algum teste que você escolher der inconclusivo, busque outro teste que funcione para a série:
sumn=1^infty(nn+1)^n^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftyl(tfracnn+1r)^n^2.
Como temos uma grande potência em n, o teste da raiz é a escolha natural. Ele afirma que, se
L = limntoinftyraiz[n]|an| < 1,
então a série sum an converge absolutamente.

Passo 2

Aqui an = l(tfracnn+1r)^n^2. Vamos calcular
raiz[n]an = l(tfracnn+1r)^n = l(1 - tfrac1n+1r)^n
Como sabemos que
limmtoinftyl(1 - tfrac1mr)^m = e^-1,
basta notar que colocando m=n+1 obtemos
limntoinftyraiz[n]an = e^-1

Passo 3

Visto que e^-1<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente, logo ela converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyl(tfracnn+1r)^n^2 converge absolutamente e, portanto, converge.

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