[7.2:57] Encontre a área da região delimitada pelas curvas y=sen^2(x) e y=sen^3(x) no intervalo 0 <= x <= pi.
12. [7.2:65] Uma partícula se move em linha reta com função velocidade v(t)=sen(omega t) cos ^2(omega t). Encontre sua posição s=f(t) sabendo que f(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede a área entre as curvas sin^2(x) e sin^3(x) em 0<= x<=pi. O conteúdo aqui é cálculo de área entre duas funções, então vamos achar onde elas se cruzam e depois integrar a diferença da maior pela menor.

Passo 2

As interseções vêm de
sin^2(x)=sin^3(x);Longrightarrow;sin^2(x)l(1-sin(x)r)=0
Logo sin(x)=0 ou sin(x)=1. Em [0,pi] isso ocorre em x=0,pi (para sin(x)=0) e em x=tfracpi2 (para sin(x)=1).

Passo 3

Para 0<= x<=pi temos 0<=sin(x)<=1, então sin^2(x)>=sin^3(x). A área é
A=integral0^pil(sin^2(x)-sin^3(x)r),dx

Passo 4

Calcular integral0^pisin^2(x),dx. Usando sin^2(x)=tfrac1-cos(2x)2,
integral0^pisin^2(x),dx =integral0^pi1-cos(2x)2,dx =[x2-sin(2x)4]0^pi =pi2

Passo 5

Calcular integral0^pisin^3(x),dx. Escrevendo sin^3(x)=sin(x)(1-cos^2(x)) e usando u=cos(x),
integralsin^3(x),dx =-cos(x)+cos^3(x)3
Avaliando de 0 a pi resulta em tfrac43.

Passo 6

Então
A=pi2-43

Passo 7

O enunciado dá velocidade v(t)=sin(omega t)cos^2(omega t) e pede a posição s=f(t) com f(0)=0. Como posição é integral da velocidade, vamos integrar v(t).

Passo 8

Calcular
integral sin(omega t)cos^2(omega t),dt
Fazendo u=cos(omega t) implica du=-omegasin(omega t),dt, ou sin(omega t),dt=-tfrac1omegadu. Logo
integralsin(omega t)cos^2(omega t),dt =-1omegaintegral u^2,du =-u^33omega+C =-cos^3(omega t)3omega+C

Passo 9

Usar f(0)=0. Em t=0, cos(omegacdot0)=1, então
0=f(0)=-13omega+C Longrightarrow C=13omega

Passo 10

Assim a posição é
f(t)=-cos^3(omega t)3omega+13omega =1-cos^3(omega t)3omega

Resposta

f(t)=1-cos^3(omega t)3omega

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