Encontre todos os
que satisfazem as seguintes desigualdades
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação racional
O conteúdo é inequação de fração com polinômios no numerador e denominador. Vamos: (i) passar tudo para um só lado, (ii) reduzir a um único quociente, (iii) identificar zeros de numerador e denominador e (iv) analisar o sinal em cada intervalo.
Passo 2
Passo tudo para o lado esquerdo e faço a subtração de frações:
Para combinar, escrevo
como
, obtendo
Passo 3
Expando e simplifico o numerador:
Logo a inequação vira
Passo 4
Fatoro o numerador e o denominador:
Assim
pois multiplicar numerador e denominador por
inverte o sinal da desigualdade. Como
não afeta o sinal, fica
Passo 5
Encontro os pontos críticos onde o quociente muda de sinal:
O domínio exige
.
Passo 6
Faço o quadro de sinais para
:
Intervalos críticos:
,
,
,
.
- Para
: numerador , denominador (pois ), quociente . - Para
: numerador , denominador , quociente . - Para
: numerador , denominador , quociente .
Nosso interesse é onde o quociente é negativo, ou seja,