Encontre todos os x que satisfazem as seguintes desigualdades
x-32 x-4>3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x-32x-4 > 3
O conteúdo é inequação de fração com polinômios no numerador e denominador. Vamos: (i) passar tudo para um só lado, (ii) reduzir a um único quociente, (iii) identificar zeros de numerador e denominador e (iv) analisar o sinal em cada intervalo.

Passo 2

Passo tudo para o lado esquerdo e faço a subtração de frações:
x-32x-4 - 3 > 0
Para combinar, escrevo 3 como 3(2x-4)2x-4, obtendo
x-3 - 3(2x-4)2x-4 > 0

Passo 3

Expando e simplifico o numerador:
x-3 - 3(2x-4) = x - 3 - 6x + 12 = -5x + 9
Logo a inequação vira
-5x+92x-4 > 0

Passo 4

Fatoro o numerador e o denominador:
-5x+9 = -(5x-9), 2x-4 = 2(x-2)
Assim
-5x+92x-4 = -(5x-9)2(x-2) = 5x-92(x-2) ;<;0,
pois multiplicar numerador e denominador por -1 inverte o sinal da desigualdade. Como 2>0 não afeta o sinal, fica
5x-9x-2 < 0

Passo 5

Encontro os pontos críticos onde o quociente muda de sinal:
5x - 9 = 0 ;Longrightarrow; x = 95, x-2 = 0 ;Longrightarrow; x = 2
O domínio exige x neq 2.

Passo 6

Faço o quadro de sinais para 5x-9x-2:
Intervalos críticos: -infty, tfrac95, 2, +infty.
  • Para x<tfrac95: numerador <0, denominador <0 (pois x<2), quociente >0.
  • Para tfrac95<x<2: numerador >0, denominador <0, quociente <0.
  • Para x>2: numerador >0, denominador >0, quociente >0.
Nosso interesse é onde o quociente é negativo, ou seja,
tfrac95 < x < 2

Resposta

boxed95<x<2

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