[7] Encontre o ponto de interseção da reta tangente ao gráfico de f(x)=2 x^2-8 x+1 em x0=1 com o eixo y.

Passo 1

O enunciado pede a interseção da reta tangente ao gráfico de f(x)=2x^2-8x+1 no ponto x0=1 com o eixo y. Para isso, precisamos calcular o valor de f(1) para achar o ponto de tangência e a derivada f'(x) para obter o coeficiente angular da reta.

Passo 2

Calculamos primeiro o valor da função em x0=1:
f(1) = 2cdot1^2 - 8cdot1 + 1 = 2 - 8 + 1 = -5
Em seguida, obtemos a derivada de f:
f'(x) = ddxl(2x^2-8x+1r) = 4x - 8,
logo o coeficiente angular da reta tangente em x=1 é
m = f'(1) = 4cdot1 - 8 = -4

Passo 3

A equação da reta tangente no ponto l(1,-5r) com coeficiente angular m=-4 vem da forma ponto-inclinação:
y - (-5) = -4l(x - 1r)
ou seja
y + 5 = -4x + 4 Longrightarrow y = -4x - 1

Passo 4

Para encontrar a interseção com o eixo y, basta tomar x=0 na equação da reta:
y = -4cdot0 - 1 = -1
Portanto o ponto de interseção é l(0,-1r).

Resposta

O ponto de interseção da reta tangente com o eixo y é l(0,-1r).

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