Questão 4: Seja f(x)=9-x^2x^2-4. Pede-se:
a) (3 pontos) Determine o domínio de f e os pontos de interseção do gráfico de f com os eixos coordenados, se existirem.
b) (6 pontos) Verifique (justifique) que a reta x=2 é a única assíntota vertical do gráfico de f. Verifique também que a reta y=1 é a única assíntota horizontal de seu gráfico.
c) (10 pontos) Sabendo-se que f^prime(x)=-10 x(x^2-4)^2, determine os pontos críticos (ou números
críticos) de f, os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximo e mínimo locais, se existirem.
d) (8 pontos) Sabendo-se que f^prime prime(x)=30 x^2+40(x^2-4)^3, faça um estudo da concavidade e determine os pontos de inflexão, se existirem.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=9 - x^2x^2-4
e pede:
  1. domínio de f e interseções com os eixos;
  2. assíntotas verticais e horizontais;
  3. pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais, sabendo que
f'(x)=-10x(x^2-4)^2;
  1. concavidade e pontos de inflexão, sabendo que
f''(x)=30x^2+40(x^2-4)^3
Vamos usar: cancelamento de zeros do denominador para o domínio, limites para assíntotas, sinal de f' para monotonia e sinal de f'' para concavidade.

Passo 2

Denominador em , logo
Interseções com o eixo resolvem , dando , ambos no domínio. Logo pontos e .
Interseção com o eixo usa :
ponto .

Passo 3

Assíntotas verticais surgem onde o denominador zera sem cancelamento no numerador. Aqui x=pm2 mantém 9-(pm2)^2=5neq0, e
limxto2^pmf(x)=pminfty, limxto(-2)^pmf(x)=mpinfty
Logo há duas retas verticais de assíntota: x=-2 e x=2.
Assíntota horizontal vem de
limxtopminftyf(x) =limxtopminfty9/x^2-11-4/x^2 =-1
A reta y=-1 é a única assíntota horizontal.

Passo 4

Para f'(x)=tfrac-10x(x^2-4)^2 vemos que o denominador é sempre positivo no domínio. Logo o sinal de f'(x) é o de -10x:
  • Se x<0, então -10x>0 e f'(x)>0, f cresce em (-infty,-2) e em (-2,0).
  • Se x>0, então -10x<0 e f'(x)<0, f decresce em (0,2) e em (2,infty).
    A única raiz de f' no domínio é x=0, ponto crítico. Como f' troca de positivo para negativo em 0, há um máximo local em
l(0,f(0)r)=l(0,-tfrac94r)
Não há mínimos locais.

Passo 5

Para a concavidade, note que o numerador de f''(x) é 30x^2+40>0 para todo x, e o denominador (x^2-4)^3 muda de sinal em x=pm2. Logo
  • f''(x)>0 se |x|>2: concavidade para cima em (-infty,-2) e em (2,infty).
  • f''(x)<0 se |x|<2: concavidade para baixo em (-2,2).
    Não há pontos de inflexão no domínio, pois não existem valores de x definidos em que f''(x)=0 ou mude sinal sem deixar o domínio.

Resposta

a) . Interseções: , e .
b) Assíntotas verticais em e . Assíntota horizontal em .
c) Ponto crítico , crescimento em , decrescimento em ; máximo local em .
d) Concavidade para baixo em , para cima em ; não há pontos de inflexão.

Exercícios relacionados