Questão 4: Seja
. Pede-se:
a) (3 pontos) Determine o domínio de
e os pontos de interseção do gráfico de
com os eixos coordenados, se existirem.
b) (6 pontos) Verifique (justifique) que a reta
é a única assíntota vertical do gráfico de
. Verifique também que a reta
é a única assíntota horizontal de seu gráfico.
c) (10 pontos) Sabendo-se que
, determine os pontos críticos (ou números
críticos) de
, os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximo e mínimo locais, se existirem.
d) (8 pontos) Sabendo-se que
, faça um estudo da concavidade e determine os pontos de inflexão, se existirem.
a) (3 pontos) Determine o domínio de
b) (6 pontos) Verifique (justifique) que a reta
c) (10 pontos) Sabendo-se que
críticos) de
d) (8 pontos) Sabendo-se que
Passo 1
O enunciado define
e pede:
- domínio de
e interseções com os eixos; - assíntotas verticais e horizontais;
- pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais, sabendo que
- concavidade e pontos de inflexão, sabendo que
Vamos usar: cancelamento de zeros do denominador para o domínio, limites para assíntotas, sinal de
para monotonia e sinal de
para concavidade.
Passo 2
Denominador
em
, logo
Interseções com o eixo
resolvem
, dando
, ambos no domínio. Logo pontos
e
.
Interseção com o eixo usa
:
Interseção com o eixo
ponto
.
Passo 3
Assíntotas verticais surgem onde o denominador zera sem cancelamento no numerador. Aqui
mantém
, e
Logo há duas retas verticais de assíntota:
e
.
Assíntota horizontal vem de
A reta
é a única assíntota horizontal.
Passo 4
Para
vemos que o denominador é sempre positivo no domínio. Logo o sinal de
é o de
:
- Se
, então e , cresce em e em . - Se
, então e , decresce em e em .
A única raiz deno domínio é , ponto crítico. Como troca de positivo para negativo em , há um máximo local em
Não há mínimos locais.
Passo 5
Para a concavidade, note que o numerador de
é
para todo
, e o denominador
muda de sinal em
. Logo
-
se : concavidade para cima em e em . -
se : concavidade para baixo em .
Não há pontos de inflexão no domínio, pois não existem valores dedefinidos em que ou mude sinal sem deixar o domínio.
Resposta
a) . Interseções:
,
e
.
b) Assíntotas verticais em e
. Assíntota horizontal em
.
c) Ponto crítico , crescimento em
, decrescimento em
; máximo local em
.
d) Concavidade para baixo em , para cima em
; não há pontos de inflexão.
b) Assíntotas verticais em
c) Ponto crítico
d) Concavidade para baixo em