-•7 Em um experimento, 200 g de alumínio (com um calor específico de 900 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} ) a 100^{\circ} \mathrm{C} são misturados com 50,0 \mathrm{~g} de água a 20,0^{\circ} \mathrm{C}, com a mistura isolada termicamente. (a) Qual é a temperatura de equilíbrio? Quais são as variações de entropia (b) do alumínio, (c) da água e (d) do sistema alumínio-água?

Passo 1

O enunciado descreve uma mistura térmica isolada entre alumínio e água, pede (a) a temperatura de equilíbrio e as variações de entropia (b) do alumínio, (c) da água e (d) do sistema. O conteúdo é calorimetria com conservação de energia e cálculo de variação de entropia de um corpo com calor específico constante.

Passo 2

Aplicamos a conservação de energia: o calor perdido pelo alumínio é igual ao ganho pela água. Em notação,
m_{\text{Al}}c_{\text{Al}}\bigl(T_{\text{i,Al}}-T_{\text{eq}}\bigr) = m_{w}c_{w}\bigl(T_{\text{eq}}-T_{\text{i,}w}\bigr).
Dados: m_{\text{Al}}=0{,}200\\ \mathrm{kg}, c_{\text{Al}}=900\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, T_{\text{i,Al}}=100{,}0\,^\circ\mathrm{C}; m_{w}=0{,}050\\ \mathrm{kg}, c_{w}=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, T_{\text{i,}w}=20{,}0\,^\circ\mathrm{C}. Resolvendo para T_{\text{eq}}:
T_{\text{eq}} =\frac{m_{\text{Al}}c_{\text{Al}}T_{\text{i,Al}}+m_{w}c_{w}T_{\text{i,}w}} {m_{\text{Al}}c_{\text{Al}}+m_{w}c_{w}} \approx \frac{(0{,}2)(900)(100{,}0)+(0{,}05)(4186)(20{,}0)}{(0{,}2)(900)+(0{,}05)(4186)} \approx 56{,}98\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Para a variação de entropia do alumínio, usamos
\Delta S_{\text{Al}} =\int_{T_{\text{i,Al}}}^{T_{\text{eq}}}\frac{m_{\text{Al}}c_{\text{Al}}}{T}\,dT =m_{\text{Al}}c_{\text{Al}}\ln\!\biggl(\frac{T_{\text{eq,K}}}{T_{\text{i,Al,K}}}\biggr).
Convertendo para Kelvin: T_{\text{i,Al,K}}=373{,}15\\ \mathrm{K}, T_{\text{eq,K}}=330{,}13\\ \mathrm{K}. Logo,
\Delta S_{\text{Al}} =0{,}2\cdot900\ln\!\biggl(\frac{330{,}13}{373{,}15}\biggr) \approx -21{,}99\\ \mathrm{J/K}.

Passo 4

Para a variação de entropia da água,
\Delta S_{w} =m_{w}c_{w}\ln\!\biggl(\frac{T_{\text{eq,K}}}{T_{\text{i,}w\!,K}}\biggr),
com T_{\text{i,}w\!,K}=293{,}15\\ \mathrm{K}. Assim,
\Delta S_{w} =0{,}05\cdot4186\ln\!\biggl(\frac{330{,}13}{293{,}15}\biggr) \approx 24{,}92\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

A variação de entropia total do sistema é a soma:
\Delta S_{\text{tot}} =\Delta S_{\text{Al}}+\Delta S_{w} \approx -21{,}99+24{,}92 \approx 2{,}93\\ \mathrm{J/K}.

Resposta

(a) T_{\text{eq}}\approx56{,}98\,^\circ\mathrm{C}.
(b) \Delta S_{\text{Al}}\approx -21{,}99\\ \mathrm{J/K}.
(c) \Delta S_{w}\approx +24{,}92\\ \mathrm{J/K}.
(d) \Delta S_{\text{tot}}\approx +2{,}93\\ \mathrm{J/K}.

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