7ª Questão: Dada a matriz A=(cccc1 & 2 & 3 & 2 3 & 5 & 2 & 3 -2 & -3 & 1 & 3). Encontre o posto e a nulidade dessa matriz.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2 & 3 & 2 3 & 5 & 2 & 3 -2 & -3 & 1 & 3
e pede o posto (dimensão da imagem) e a nulidade (dimensão do núcleo) de A. Vamos usar eliminação de Gauss para determinar o posto e em seguida aplicar o teorema da dimensão do núcleo:
nulidade(A) = #colunas - posto(A)

Passo 2

Aplicamos operações elementares para triangularizar A:
  1. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda:
R2 R2 - 3R1
  1. Somamos 2 vezes a primeira linha à terceira:
R3 R3 + 2R1
Após essas operações, obtemos
1 & 2 & 3 & 2 0 & -1 & -7 & -3 0 & 1 & 7 & 7
Em seguida, somamos a segunda linha na terceira para zerar o coeficiente da coluna 2 em R3:
R3 R3 + R2
que produz
1 & 2 & 3 & 2 0 & -1 & -7 & -3 0 & 0 & 0 & 4

Passo 3

Agora vemos que há pivôs não nulos nas colunas 1, 2 e 4, um em cada linha não nula. Portanto
posto(A) = 3

Passo 4

Pelo teorema da dimensão do núcleo, como A tem 4 colunas,
nulidade(A) = 4 - posto(A) = 4 - 3 = 1

Resposta

O posto de A é 3 e a nulidade de A é 1.

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