( 5,0 pontos) Vapor saturado de água condensa a 100^{\circ} \mathrm{C} no lado do casco de um trocador de calor de um passe no casco e 2 passes no tubo com área de superficie de 1,67 \mathrm{~m}^{2} e coeficiente global de transferência de calor de 2.000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. A água fria ( \mathrm{cp}=4.180 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} ) que flui em 0.5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} entra no tubo lateral a 15{ }^{\circ} \mathrm{C}. Determine: a) a temperatura da água fria na saida do trocador de calor, b) a taxa mássica de vapor que condensa do lado do casco sabendo-se que na saida há liquido saturado.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede duas coisas. Dados:
  • Temperatura de saturação do vapor no lado do casco: T_s=100^\circ\mathrm{C}.
  • Área de troca térmica: A=1{,}67\\ \mathrm{m}^2.
  • Coeficiente global de transferência de calor: U=2000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
  • Água fria que passa pelos tubos: vazão mássica \dot{m}_c=0{,}5\\ \mathrm{kg/s}, capacidade térmica \displaystyle c_p=4180\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.
  • Temperatura de entrada da água fria: T_{ci}=15^\circ\mathrm{C}.
  • Na saída do casco (lado do vapor) há líquido saturado — isto significa que o vapor condensa completamente à 100^\circ\mathrm{C} e o condensado sai à 100^\circ\mathrm{C} (não há resfriamento abaixo da temperatura de saturação).
Perguntas:
a) Determinar a temperatura da água fria na saída do trocador: T_{co}.
b) Determinar a taxa mássica de vapor que condensa: \dot{m}_v.

Passo 2

Estratégia (sem pular etapas):
  • Fazer o balanço de energia no fluido frio: a energia recebida pelo fluido frio é Q=\dot{m}_c\,c_p\,(T_{co}-T_{ci}). Vou explicar cada termo quando usar.
  • Relacionar essa taxa de calor Q com a transferência pela superfície do trocador: Q = U A\,\Delta T_{lm}, onde \Delta T_{lm} é a diferença de temperatura média logarítmica.
  • Como o vapor condensa à temperatura constante T_s, as diferenças de temperatura nas duas extremidades ficam simples: \Delta T_1=T_s-T_{ci} e \Delta T_2=T_s-T_{co}. Vou mostrar que isso permite obter uma fórmula explícita para T_{co}.
  • Por fim, usar Q para achar \dot{m}_v através do calor latente de vaporização: Q=\dot{m}_v\,h_{fg}. Explico o que é h_{fg} e o valor que usamos.

Passo 3

Balanço de energia do fluido frio (água nos tubos):
  • Significado dos símbolos: \dot{m}_c é a vazão mássica da água fria ( \mathrm{kg/s}), c_p é a capacidade térmica a pressão constante ( \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}), T_{ci} e T_{co} são temperaturas de entrada e saída.
  • Equação do balanço:
Q = \dot{m}_c\,c_p\,(T_{co}-T_{ci}).
  • Substituindo \dot{m}_c=0{,}5\\ \mathrm{kg/s} e c_p=4180\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K} podemos calcular a constante \dot{m}_c c_p quando for necessário:
\dot{m}_c c_p = 0{,}5\times 4180 = 2090\\ \mathrm{W/K}.
(Interpretação: para cada kelvin que a água aquece, ela absorve 2090\\ \mathrm{W}.)

Passo 4

Equação de transferência térmica através do trocador:
  • A expressão geral é
Q = U A\,\Delta T_{lm},
onde \Delta T_{lm} (log mean temperature difference) é definida, para diferenças \Delta T_1 e \Delta T_2, por
\Delta T_{lm}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
  • No nosso caso, como o vapor está a temperatura constante T_s, as diferenças nas extremidades são:
\Delta T_1 = T_s - T_{ci},\qquad \Delta T_2 = T_s - T_{co}.
  • Substituindo essas \Delta T na fórmula do \Delta T_{lm} teremos uma expressão que depende apenas de T_{co} (porque T_s e T_{ci} são conhecidos).

Passo 5

Igualando as duas expressões para Q (do fluido frio e da transferência):
\dot{m}_c c_p (T_{co}-T_{ci}) = U A \frac{(T_s-T_{ci})-(T_s-T_{co})}{\ln\!\left(\dfrac{T_s-T_{ci}}{T_s-T_{co}}\right)}.
Simplificando o numerador à direita: (T_s-T_{ci})-(T_s-T_{co}) = T_{co}-T_{ci}. Então a equação fica
\dot{m}_c c_p (T_{co}-T_{ci}) = U A \frac{T_{co}-T_{ci}}{\ln\!\left(\dfrac{T_s-T_{ci}}{T_s-T_{co}}\right)}.
Como T_{co}\neq T_{ci} (caso trivial sem transferência), podemos cancelar o fator (T_{co}-T_{ci}) dos dois lados e obtemos uma equação muito mais simples:
\dot{m}_c c_p = U A\\ \frac{1}{\ln\!\left(\dfrac{T_s-T_{ci}}{T_s-T_{co}}\right)}.
Invertemos e isolamos o logaritmo:
\ln\!\left(\dfrac{T_s-T_{ci}}{T_s-T_{co}}\right)=\dfrac{U A}{\dot{m}_c c_p}.
Exponentiando,
\dfrac{T_s-T_{ci}}{T_s-T_{co}}=\exp\!\left(\dfrac{U A}{\dot{m}_c c_p}\right).
Isolando T_{co}:
T_s-T_{co}=(T_s-T_{ci})\exp\!\left(-\dfrac{U A}{\dot{m}_c c_p}\right),
logo
T_{co}=T_s-(T_s-T_{ci})\exp\!\left(-\dfrac{U A}{\dot{m}_c c_p}\right).
Isto é excelente porque fornece T_{co} em forma fechada sem iteração.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos na fórmula obtida:
  • Calcular o expoente:
\frac{U A}{\dot{m}_c c_p}=\frac{2000\cdot 1{,}67}{2090}=\frac{3340}{2090}\approx 1{,}59712.
  • Exponencial:
\exp(-1{,}59712)\approx 0{,}20250.
  • Diferença inicial:
T_s-T_{ci}=100-15=85\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Portanto
T_s-T_{co}=85\times 0{,}20250\approx 17{,}2128\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Finalmente
T_{co}=100-17{,}2128\approx 82{,}79^\circ\mathrm{C}.
Arredondando com sentido físico, a temperatura de saída da água fria é aproximadamente \displaystyle T_{co}\approx 82{,}8^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Cálculo da taxa de calor Q usando o balanço do fluido frio:
Q=\dot{m}_c c_p (T_{co}-T_{ci})=2090\times(82{,}7872-15)\\ \mathrm{W}.
Diferença de temperaturas:
T_{co}-T_{ci}\approx 82{,}7872-15=67{,}7872\\ ^\circ\mathrm{C}.
Logo
Q\approx 2090\times 67{,}7872\approx 141624\\ \mathrm{W}\approx 1{,}416\times 10^{5}\\ \mathrm{W}.
(Interpretação: o trocador fornece cerca de 142\\ \mathrm{kW} ao fluido frio.)

Passo 8

Cálculo da vazão mássica de vapor condensado \dot{m}_v:
  • Ao condensar, o vapor libera o calor latente h_{fg}. Usamos o valor típico do calor latente de vaporização da água à 100^\circ\mathrm{C}: \displaystyle h_{fg}\approx 2257000\\ \mathrm{J/kg} (aprox. 2257\\ \mathrm{kJ/kg}).
  • Relação energia–massa: Q=\dot{m}_v\,h_{fg}. Assim
\dot{m}_v=\frac{Q}{h_{fg}}=\frac{141624}{2{,}257{,}000}\\ \mathrm{kg/s}.
  • Calculando:
\dot{m}_v\approx 0{,}06278\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando razoavelmente: \displaystyle \dot{m}_v\approx 0{,}0628\\ \mathrm{kg/s} (aprox. 3{,}77\\ \mathrm{kg/min} se quiser ter noção).

Resposta

a) T_{co}\approx 82{,}8^\circ\mathrm{C}
b) \dot{m}_v\approx 0{,}0628\\ \mathrm{kg/s}

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