70- O que aconteceria com a velocidade da reação se ela fosse de primeira ordem com relação ao reagente A e também de primeira ordem com relação ao reagente B ?

Passo 1

O enunciado pergunta: “O que aconteceria com a velocidade da reação se ela fosse de primeira ordem com relação ao reagente A e também de primeira ordem com relação ao reagente B ?”\n
Informações dadas (explicitamente):\n
  • A ordem em relação a A é 1.\n
  • A ordem em relação a B é 1.\n
    Não há mais dados numéricos no enunciado (como valores de concentrações ou constante de velocidade). A resposta deve descrever a forma da lei de velocidade, como a velocidade depende das concentrações, unidades da constante e consequências práticas (dobrar concentrações, meio-vida, aproximação pseudo-primeira ordem etc.).

Passo 2

O que significa “ordem em relação a um reagente” — explicação didática e fórmula geral\n
Quando dizemos que a reação é de ordem 1 em relação a A, isso quer dizer que, na lei de velocidade, a dependência de A é proporcional a [A] (ou seja, aparece como potência 1). Analogamente, ordem 1 em relação a B significa dependência proporcional a [B].\n
A forma geral de uma lei de velocidade que combina essas dependências é multiplicativa. Então introduzimos a constante de proporcionalidade k (chamada constante de velocidade) e escrevemos a velocidade instantânea como uma função das concentrações:
v = k\,[A]^{m}\,[B]^{n}
onde m é a ordem em A e n a ordem em B. Aqui m=1 e n=1.

Passo 3

Escrevendo a lei de velocidade específica para este caso\n
Substituindo m=1 e n=1 na expressão do passo anterior, obtemos:
v = k\,[A]\,[B].
Explicando símbolos: v é a velocidade inicial ou instantânea da reação (normalmente em unidades de concentração por tempo, por ex. \mathrm{mol\,L^{-1}\,s^{-1}}), [A] e [B] são as concentrações molares de A e B (por ex. \mathrm{mol\,L^{-1}}), e k é a constante de velocidade.

Passo 4

Ordem global da reação e unidades da constante k\n
A ordem global da reação é a soma das ordens parciais: \text{ordem global} = m+n. Aqui:
\text{ordem global} = 1+1 = 2.
Para determinar as unidades de k: a velocidade tem unidades \mathrm{[conc]\,time^{-1}}. Se [A] e [B] têm unidade \mathrm{[conc]}, então dimensionalmente
[k]\times \mathrm{[conc]^2} = \mathrm{[conc]\,time^{-1}},
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[k] = \mathrm{[conc]^{-1}\,time^{-1}}.
Em concentração molar e segundos, por exemplo, k tem unidades \mathrm{M^{-1}s^{-1}} (ou \mathrm{mol^{-1}L\,s^{-1}}).

Passo 5

Como a velocidade muda se alterarmos [A] ou [B] — regra prática e exemplos numéricos simples\n
A dependência v = k[A][B] é multiplicativa. Isso implica as seguintes regras simples:\n
  • Se dobrarmos [A] mantendo [B] constante, a velocidade dobra (multiplica por 2). Isso porque v é linear em [A]: v\propto [A].\n
  • Se dobrarmos [B] com [A] constante, a velocidade também dobra.\n
  • Se dobrarmos simultaneamente [A] e [B], a velocidade multiplica por 2\cdot 2 = 4 (quadrupla).\n
    Exemplo numérico para visualizar: suponha k=1\\ \mathrm{M^{-1}s^{-1}}, [A]=1\\ \mathrm{M}, [B]=1\\ \mathrm{M}. Então
v = 1\times 1\times 1 = 1\\ \mathrm{M\,s^{-1}}.
Se [A] passa para 2\\ \mathrm{M} e [B]=1\\ \mathrm{M}, então
v = 1\times 2\times 1 = 2\\ \mathrm{M\,s^{-1}}.
Se ambos passam para 2\\ \mathrm{M},
v = 1\times 2\times 2 = 4\\ \mathrm{M\,s^{-1}}.

Passo 6

Integração da lei para o caso comum A+B\to produtos com concentrações iniciais iguais — derivação e meio-vida\n
Um caso frequentemente pedido em provas é quando a reação segue v = k[A][B] e as concentrações iniciais são iguais: [A]_0 = [B]_0. Vou mostrar a integração passo a passo para esse caso, porque é bom saber na prova.\n
Se as concentrações são iguais em todo tempo (caso de estequiometria 1:1 e consumo simultâneo), podemos escrever [A](t)=[B](t). Denotando x(t)=[A](t), a velocidade (consumo de A) é
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]\,[B] = k\,x^2.
Isso dá a equação diferencial separável
\frac{dx}{dt} = -k\,x^2.
Separe variáveis:
\frac{dx}{x^2} = -k\,dt.
Integre ambos os lados (do tempo 0 a t, e de x_0=[A]_0 a x(t)=[A]_t):
\int_{[A]_0}^{[A]_t} \frac{dx}{x^2} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
A integral do lado esquerdo é -1/x, então obtemos
\left[-\frac{1}{x}\right]_{[A]_0}^{[A]_t} = -kt.
Isso simplifica para
-\frac{1}{[A]_t} + \frac{1}{[A]_0} = -kt
ou, rearranjando,
\frac{1}{[A]_t} = \frac{1}{[A]_0} + kt.
A partir desta expressão, o tempo de meia-vida t_{1/2} (tempo para [A]_t ficar metade de [A]_0) obedece
\frac{1}{[A]_0/2} = \frac{1}{[A]_0} + k t_{1/2}
que dá
t_{1/2} = \frac{1}{k\,[A]_0}.
Observação importante: para reações de segunda ordem (ordem global 2) o tempo de meia-vida depende da concentração inicial — diferente das reações de primeira ordem, cuja meia-vida é constante e independe da concentração inicial.

Passo 7

Aproximação pseudo-primeira ordem — quando é útil na prática\n
Em experimentos é comum ter um reagente em grande excesso. Se [B] é muito maior do que [A], [B] varia pouco durante a reação e pode ser tratado como constante aproximada. Então definimos
k' = k\,[B]_{\text{constante}},
e a lei vira
v \approx k'\,[A],
que é uma lei de primeira ordem efetiva (pseudo-primeira ordem) em A. Isso simplifica análise experimental (pois integra-se como uma primeira ordem) e é uma técnica comum para determinar constantes de velocidade para reações bimoleculares.

Passo 8

Resumo prático do que “aconteceria” — como responder objetivamente na prova\n
  • A lei de velocidade passa a ser v = k\,[A]\,[B].\n
  • A ordem global é 2 (segunda ordem).\n
  • Dobrar um único reagente duplica a velocidade; dobrar os dois quadruplica a velocidade.\n
  • Unidades de k: \mathrm{M^{-1}s^{-1}} (ou \mathrm{mol^{-1}L\,s^{-1}}).\n
  • Se [A]_0=[B]_0, a forma integrada é \dfrac{1}{[A]_t}=\dfrac{1}{[A]_0}+kt e t_{1/2}=\dfrac{1}{k[A]_0}.\n
  • Se um reagente estiver em grande excesso pode-se usar a aproximação pseudo-primeira ordem.

Resposta

v = k\,[A]\,[B] (ordem global 2).\nDobrar [A] (ou [B]) dobra v; dobrar ambos quadruplica v.\nUnidades de k: \mathrm{M^{-1}s^{-1}}.\nSe [A]_0=[B]_0: \dfrac{1}{[A]_t}=\dfrac{1}{[A]_0}+kt e t_{1/2}=\dfrac{1}{k[A]_0}.\nCom [B]\gg[A] aplica-se aproximação pseudo-primeira ordem v\approx k'[A] com k'=k[B].

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