1.70 Um barco parte da ilha de Guam e navega a 285 km e 62,0 { }^{\circ} do oeste para o norte. Em qual direção ele deve seguir agora e qual a distância a percorrer de modo que seu deslocamento resultante seja 115 km diretamente a leste da ilha?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • O barco parte da ilha (origem) e faz um primeiro deslocamento de 285\\ \text{km} na direção 62,0^{\circ} do oeste para o norte.
  • O deslocamento resultante desejado (posição final em relação à ilha) é 115\\ \text{km} diretamente a leste da ilha.
O que se pede:
  • Determinar a direção que o barco deve seguir no segundo trecho.
  • Determinar a distância que deve percorrer nesse segundo trecho.

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas e transformar as direções em componentes cartesianas (essa é a forma mais prática para somar e subtrair deslocamentos).
  • Adoto o eixo x apontando para leste (positivo) e o eixo y apontando para norte (positivo). Assim a posição desejada final é o vetor \vec{r}=(115\\ \text{km},\,0).
  • Interpretar a direção do primeiro deslocamento: “ 62,0^{\circ} do oeste para o norte” significa partir do rumo oeste e girar 62,0^{\circ} em direção ao norte. Em termos do ângulo medido a partir do eixo x positivo (leste), isso corresponde a
    \theta_1 = 180^{\circ}-62{,}0^{\circ}=118{,}0^{\circ}.
    Explicando: o oeste é 180^{\circ} a partir do leste; girar 62^{\circ} para o norte reduz esse ângulo para 118^{\circ}.
  • Fórmula para as componentes de um deslocamento de módulo d e direção \theta:
    x = d\cos\theta,\qquad y = d\sin\theta,
    onde \cos\theta dá a projeção no eixo x (leste) e \sin\theta dá a projeção no eixo y (norte). Sinais negativos aparecem automaticamente quando a componente aponta para oeste ( x<0) ou para sul ( y<0).

Passo 3

Calcular as componentes do primeiro deslocamento \vec{d}_1.
  • Módulo d_1 = 285\\ \text{km} e ângulo \theta_1 = 118{,}0^{\circ}. Assim x_1 = d_1\cos\theta_1 = 285\cos118{,}0^{\circ},
y_1 = d_1\sin\theta_1 = 285\sin118{,}0^{\circ}.
  • Calculemos os valores numéricos (usando as funções trigonométricas): x_1 \approx 285\cos118{,}0^{\circ} \approx -133{,}799\\ \text{km},
y_1 \approx 285\sin118{,}0^{\circ} \approx 251{,}640\\ \text{km}.
Observação: x_1 é negativo (o barco foi para o lado oeste) e y_1 é positivo (o barco foi para o norte).

Passo 4

Expressar o deslocamento necessário \vec{d}_2 em componentes a partir da condição do deslocamento resultante.
  • Queremos que \vec{d}_1+\vec{d}_2=\vec{r}, onde \vec{r}=(115\\ \text{km},\,0).
  • Então \vec{d}_2=\vec{r}-\vec{d}_1.Em componentes: x_2 = 115 - x_1,\qquad y_2 = 0 - y_1.
  • Substituindo os números que já calculamos: x_2 = 115 - (-133{,}799) \approx 248{,}799\\ \text{km},
y_2 = 0 - 251{,}640 \approx -251{,}640\\ \text{km}.
Interpretação: a segunda perna tem componente leste positiva e componente norte negativa — ou seja, segue para sudeste (leste e sul).

Passo 5

Calcular a distância do segundo trecho (módulo de \vec{d}_2) usando o Teorema de Pitágoras.
  • Fórmula: |\vec{d}_2|=\sqrt{x_2^{2}+y_2^{2}}.Explicação: as componentes x_2 e y_2 formam os catetos de um triângulo retângulo cujo hipotenusa é o deslocamento total do trecho.
  • Substituindo: |\vec{d}_2|=\sqrt{(248{,}799)^{2}+(-251{,}640)^{2}}\approx 353{,}870\\ \text{km}.Arredondando de forma prática para uso em prova, 353{,}87\\ \text{km} (ou 353{,}9\\ \text{km} se pedir uma casa decimal).

Passo 6

Calcular a direção do segundo trecho (ângulo em relação ao leste) e expressá-la como “ao sul do leste” (sul de leste).
  • Usar a função arco-tangente para obter o ângulo relativo ao eixo x: \theta_2=\arctan\!\left(\dfrac{y_2}{x_2}\right).Observação importante: como x_2>0 e y_2<0, o vetor está no quadrante IV e o ângulo será negativo, o que corresponde a um ângulo ao sul do leste.
  • Substituindo os valores: \theta_2=\arctan\!\left(\dfrac{-251{,}640}{248{,}799}\right)\approx -45{,}4^{\circ}.Interpretando: -45{,}4^{\circ} significa 45{,}4^{\circ} ao sul do leste (ou seja, rumo sudeste fazendo 45{,}4^{\circ} abaixo do leste).

Resposta

Direção: 45{,}4^{\circ} ao sul do leste\n
Distância: 353{,}87\\ \text{km}

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