1.70 Um barco parte da ilha de Guam e navega a 285 km e 62,0
do oeste para o norte. Em qual direção ele deve seguir agora e qual a distância a percorrer de modo que seu deslocamento resultante seja 115 km diretamente a leste da ilha?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- O barco parte da ilha (origem) e faz um primeiro deslocamento de
na direção do oeste para o norte. - O deslocamento resultante desejado (posição final em relação à ilha) é
diretamente a leste da ilha.
O que se pede:
- Determinar a direção que o barco deve seguir no segundo trecho.
- Determinar a distância que deve percorrer nesse segundo trecho.
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas e transformar as direções em componentes cartesianas (essa é a forma mais prática para somar e subtrair deslocamentos).
-
Adoto o eixo
apontando para leste (positivo) e o eixo apontando para norte (positivo). Assim a posição desejada final é o vetor . -
Interpretar a direção do primeiro deslocamento: “
do oeste para o norte” significa partir do rumo oeste e girar em direção ao norte. Em termos do ângulo medido a partir do eixo positivo (leste), isso corresponde a Explicando: o oeste éa partir do leste; girar para o norte reduz esse ângulo para . -
Fórmula para as componentes de um deslocamento de módulo
e direção : ondedá a projeção no eixo (leste) e dá a projeção no eixo (norte). Sinais negativos aparecem automaticamente quando a componente aponta para oeste ( ) ou para sul ( ).
Passo 3
Calcular as componentes do primeiro deslocamento
.
- Módulo
e ângulo . Assim
- Calculemos os valores numéricos (usando as funções trigonométricas):
Observação:
é negativo (o barco foi para o lado oeste) e
é positivo (o barco foi para o norte).
Passo 4
Expressar o deslocamento necessário
em componentes a partir da condição do deslocamento resultante.
- Queremos que
, onde . - Então
Em componentes: - Substituindo os números que já calculamos:
Interpretação: a segunda perna tem componente leste positiva e componente norte negativa — ou seja, segue para sudeste (leste e sul).
Passo 5
Calcular a distância do segundo trecho (módulo de
) usando o Teorema de Pitágoras.
- Fórmula:
Explicação: as componentes e formam os catetos de um triângulo retângulo cujo hipotenusa é o deslocamento total do trecho. - Substituindo:
Arredondando de forma prática para uso em prova, (ou se pedir uma casa decimal).
Passo 6
Calcular a direção do segundo trecho (ângulo em relação ao leste) e expressá-la como “ao sul do leste” (sul de leste).
- Usar a função arco-tangente para obter o ângulo relativo ao eixo
: Observação importante: como e , o vetor está no quadrante IV e o ângulo será negativo, o que corresponde a um ângulo ao sul do leste. - Substituindo os valores:
Interpretando: significa ao sul do leste (ou seja, rumo sudeste fazendo abaixo do leste).
Resposta
Direção:
ao sul do leste\n
Distância:
Distância: