Um cano de espessura uniforme de
tem uma diferença de pressão de 10 kPa entre suas extremidades. A vazão de água no cano é de
.
Ber noulle Assumindo um fluxo uniforme,
a. (2.0 pontos) qual é a velocidade da água no cano?
b. ( 3.0 pontos ) qual a diferença de altura entre as extremidades do
cano?
a. (2.0 pontos) qual é a velocidade da água no cano?
b. ( 3.0 pontos ) qual a diferença de altura entre as extremidades do
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) qual é a velocidade da água no cano;
- (b) qual é a diferença de altura entre as extremidades do cano, dado que há uma diferença de pressão de
entre elas.
Informações fornecidas (já convertidas para unidades do SI quando necessário):
- Vazão volumétrica:
. - Área da seção transversal do cano:
. Aqui converte-se , então - Diferença de pressão entre as extremidades:
Vou usar continuidade para (a) e a equação de Bernoulli (assumindo fluxo estacionário, incompressível, sem perdas por atrito e com velocidade uniforme na seção) para (b). Não se preocupe: vou explicar cada fórmula e cada passo com calma.
Passo 2
Cálculo da velocidade usando a equação da continuidade.
A equação da continuidade para fluxo incompressível e seção constante diz:
onde
-
é a vazão volumétrica ( ), -
é a área da seção ( ), -
é a velocidade média do fluido ( ).
Isolando
:
Substituindo os valores conhecidos (tudo em unidades SI):
Fazendo a divisão:
Interpretação curta: com uma área muito pequena (
), para escoar
a água precisa passar rápido —
.
Passo 3
Explicando e aplicando Bernoulli para relacionar diferença de pressão com diferença de altura.
A forma geral da equação de Bernoulli (para um mesmo fio de corrente, sem trocas de energia por atrito, fluxo estacionário e fluido incompressível) é:
onde
-
é a pressão estática ( ), -
é a densidade do fluido ( ), -
é a velocidade ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a cota vertical ( ).
Considere as duas extremidades do cano como pontos 1 e 2. Escrevendo Bernoulli entre os pontos 1 e 2:
Como a seção é uniforme e o fluxo é uniforme, tem-se
. Logo os termos cinéticos
se cancelam, resultando em:
Definindo a diferença de altura como
e a diferença de pressão
, obtém-se a relação simples:
Obs.: a equação acima dá a diferença de altura correspondente à diferença de pressão quando as velocidades são iguais. Se as velocidades fossem diferentes, os termos
também precisariam ser considerados.
Passo 4
Cálculo numérico da diferença de altura.
Para água toma-se a densidade aproximada
e a aceleração da gravidade
Substituindo em
com
:
Fazendo a divisão:
Arredondando sensatamente (duas casas decimais é suficiente aqui):
Passo 5
Resumo rápido e dica para a prova:
- Use sempre
para achar velocidade quando souber vazão e área. - Para relacionar pressão e altitude use Bernoulli; se a velocidade nos dois pontos for igual, a diferença de pressão corresponde diretamente a
. - Atenção às unidades (converter
para , kPa para Pa, etc.). Isso evita erros bobos. - Força-se a escrever as hipóteses (fluxo estacionário, sem perdas, mesma seção) — o corretor costuma cobrar isso.
Resposta
(a)
(b)