Um cano de espessura uniforme de 10 \mathrm{~cm}^{2} tem uma diferença de pressão de 10 kPa entre suas extremidades. A vazão de água no cano é de 0.003 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.
\_\_\_\_ Ber noulle Assumindo um fluxo uniforme,
a. (2.0 pontos) qual é a velocidade da água no cano?
b. ( 3.0 pontos ) qual a diferença de altura entre as extremidades do
v \operatorname{og} 000=A \cdot v
cano?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) qual é a velocidade da água no cano;
  • (b) qual é a diferença de altura entre as extremidades do cano, dado que há uma diferença de pressão de 10\\ \mathrm{kPa} entre elas.
Informações fornecidas (já convertidas para unidades do SI quando necessário):
  • Vazão volumétrica: Q=0{,}003\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Área da seção transversal do cano: A=10\\ \mathrm{cm^2}. Aqui converte-se 1\\ \mathrm{cm^2}=10^{-4}\\ \mathrm{m^2}, então A=10\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}=1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
  • Diferença de pressão entre as extremidades: \Delta P=10\\ \mathrm{kPa}=10{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}=10\,000\\ \mathrm{Pa}.
Vou usar continuidade para (a) e a equação de Bernoulli (assumindo fluxo estacionário, incompressível, sem perdas por atrito e com velocidade uniforme na seção) para (b). Não se preocupe: vou explicar cada fórmula e cada passo com calma.

Passo 2

Cálculo da velocidade usando a equação da continuidade.
A equação da continuidade para fluxo incompressível e seção constante diz:
Q = A \cdot v,
onde
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}),
  • A é a área da seção ( \mathrm{m^2}),
  • v é a velocidade média do fluido ( \mathrm{m/s}).
Isolando v:
v=\frac{Q}{A}.
Substituindo os valores conhecidos (tudo em unidades SI):
v=\frac{0{,}003\\ \mathrm{m^3/s}}{1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^2}}.
Fazendo a divisão:
v=3{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação curta: com uma área muito pequena ( 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}), para escoar 0{,}003\\ \mathrm{m^3/s} a água precisa passar rápido — 3\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Explicando e aplicando Bernoulli para relacionar diferença de pressão com diferença de altura.
A forma geral da equação de Bernoulli (para um mesmo fio de corrente, sem trocas de energia por atrito, fluxo estacionário e fluido incompressível) é:
P + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z = \text{constante},
onde
  • P é a pressão estática ( \mathrm{Pa}),
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • v é a velocidade ( \mathrm{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • z é a cota vertical ( \mathrm{m}).
Considere as duas extremidades do cano como pontos 1 e 2. Escrevendo Bernoulli entre os pontos 1 e 2:
P_{1} + \tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2} + \rho g z_{1} = P_{2} + \tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2} + \rho g z_{2}.
Como a seção é uniforme e o fluxo é uniforme, tem-se v_{1}=v_{2}=v. Logo os termos cinéticos \tfrac{1}{2}\rho v^{2} se cancelam, resultando em:
P_{1}-P_{2} = \rho g (z_{2}-z_{1}).
Definindo a diferença de altura como \Delta z = z_{2}-z_{1} e a diferença de pressão \Delta P = P_{1}-P_{2}, obtém-se a relação simples:
\Delta z = \frac{\Delta P}{\rho g}.
Obs.: a equação acima dá a diferença de altura correspondente à diferença de pressão quando as velocidades são iguais. Se as velocidades fossem diferentes, os termos \tfrac{1}{2}\rho v^{2} também precisariam ser considerados.

Passo 4

Cálculo numérico da diferença de altura.
Para água toma-se a densidade aproximada
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3},
e a aceleração da gravidade
g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Substituindo em
\Delta z = \frac{\Delta P}{\rho g}
com \Delta P=10\,000\\ \mathrm{Pa}:
\Delta z = \frac{10\,000\\ \mathrm{Pa}}{1000\\ \mathrm{kg/m^3}\times 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}} =\frac{10\,000}{9{,}810}\\ \mathrm{m}.
Fazendo a divisão:
\Delta z \approx 1{,}019367\\ \mathrm{m}.
Arredondando sensatamente (duas casas decimais é suficiente aqui):
\Delta z \approx 1{,}02\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Resumo rápido e dica para a prova:
  • Use sempre Q=A\cdot v para achar velocidade quando souber vazão e área.
  • Para relacionar pressão e altitude use Bernoulli; se a velocidade nos dois pontos for igual, a diferença de pressão corresponde diretamente a \rho g\Delta z.
  • Atenção às unidades (converter \mathrm{cm^2} para \mathrm{m^2}, kPa para Pa, etc.). Isso evita erros bobos.
  • Força-se a escrever as hipóteses (fluxo estacionário, sem perdas, mesma seção) — o corretor costuma cobrar isso.

Resposta

(a) v=3{,}0\\ \mathrm{m/s}
(b) \Delta z = 1{,}02\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados