75 A temperatura de massas iguais de três líquidos diferentes \mathrm{A}, \mathrm{B} e C são 12{ }^{\circ} \mathrm{C}, 19^{\circ} \mathrm{C} e 28^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. A temperatura de equilíbrio quando A e B são misturados é de 16^{\circ} \mathrm{C}, e quando B e C são misturados, é de 23^{\circ} \mathrm{C}. Qual será a temperatura de equilíbrio quando A e C são misturados?
76 Duas estudantes do Professor Gomes debatiam entusiasticamente sobre o processo de formação de gelo em nuvens. A primeira, chamada Lia, dizia: “Sabemos que a água se congela à temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C}, assim o gelo nas nuvens tem que se formar a uma temperatura próxima deste valor”.

Passo 1

  • Questão 75: Temos massas iguais dos líquidos A, B e C com temperaturas iniciais \,12^\circ\mathrm{C}\,,\,19^\circ\mathrm{C} e \,28^\circ\mathrm{C}, respectivamente. Sabemos que a mistura de A e B (massas iguais) atinge equilíbrio térmico a \,16^\circ\mathrm{C} e a mistura de B e C (massas iguais) atinge equilíbrio térmico a \,23^\circ\mathrm{C}. A pergunta é: qual será a temperatura de equilíbrio quando A e C, em massas iguais, forem misturados?
  • Questão 76: A estudante Lia afirma: “A água se congela a \,0^\circ\mathrm{C}, logo o gelo nas nuvens tem que se formar próximo desse valor.” A tarefa é avaliar essa afirmação e explicar (ou seja, dizer se Lia está certa e explicar por que sim ou por que não).

Passo 2

Entendendo a física por trás da Questão 75 (aula rapidinha sobre mistura térmica): quando misturamos massas iguais de dois líquidos isolados termicamente, a energia térmica total se conserva (não há perda para o ambiente). Se chamarmos de \,m a massa de cada porção (iguais), e de \,c_A,c_B,c_C as capacidades térmicas massicas (calor específico) de A, B, C, então o equilíbrio entre dois líquidos X e Y satisfaz a equação de conservação de energia:
m c_X (T_X - T_{\text{eq}}) + m c_Y (T_Y - T_{\text{eq}})=0.
Como m é comum, podemos simplificar e obter a forma prática:
T_{\text{eq}}=\frac{c_X T_X + c_Y T_Y}{c_X + c_Y}.
Explicando cada símbolo:
  • \,T_X, T_Y são as temperaturas iniciais dos líquidos X e Y.
  • \,c_X,c_Y são os calores específicos (energia por unidade de massa por grau) dos líquidos.
  • \,T_{\text{eq}} é a temperatura final de equilíbrio.
    Isso é, a temperatura de equilíbrio é a média ponderada das temperaturas iniciais, ponderada pelas capacidades térmicas.

Passo 3

Aplicando a fórmula para a mistura A + B (dados da questão 75). Escrevo a equação usando as capacidades relativas; é prático definir as razões em relação a c_B. Seja
x=\frac{c_A}{c_B}.
Pelo dado da mistura A e B:
16=\frac{c_A\cdot 12 + c_B\cdot 19}{c_A + c_B}=\frac{x\cdot 12 + 1\cdot 19}{x+1}.
Agora resolvemos para \,x. Multiplicando ambos os lados por \,x+1:
16(x+1)=12x+19.
Desenvolvendo:
16x+16=12x+19.
Isolando x:
16x-12x=19-16 \quad\Rightarrow\quad 4x=3 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{3}{4}.
Conclusão: \displaystyle \frac{c_A}{c_B}=\frac{3}{4}.

Passo 4

Aplicando a fórmula para a mistura B + C. Defino
y=\frac{c_C}{c_B}.
Pelo dado da mistura B e C:
23=\frac{1\cdot 19 + y\cdot 28}{1+y}.
Multiplicando ambos os lados por \,1+y:
23(1+y)=19+28y.
Desenvolvendo:
23+23y=19+28y.
Isolando y:
23-19=28y-23y \quad\Rightarrow\quad 4=5y \quad\Rightarrow\quad y=\frac{4}{5}.
Conclusão: \displaystyle \frac{c_C}{c_B}=\frac{4}{5}.

Passo 5

Agora calculamos a temperatura de equilíbrio da mistura A + C usando as razões encontradas. A fórmula é:
T_{AC}=\frac{c_A\cdot 12 + c_C\cdot 28}{c_A + c_C}.
Dividindo numerador e denominador por c_B (para usar x e y):
T_{AC}=\frac{x\cdot 12 + y\cdot 28}{x + y},
onde \,x=\tfrac{3}{4} e \,y=\tfrac{4}{5}. Calculamos passo a passo:
  • Primeiro o numerador:
x\cdot 12 = \frac{3}{4}\cdot 12 = 3\cdot 3 = 9.
y\cdot 28 = \frac{4}{5}\cdot 28 = \frac{112}{5}.
Somando:
x\cdot 12 + y\cdot 28 = 9 + \frac{112}{5} = \frac{45}{5} + \frac{112}{5} = \frac{157}{5}.
  • Agora o denominador:
x+y = \frac{3}{4} + \frac{4}{5} = \frac{15}{20} + \frac{16}{20} = \frac{31}{20}.
  • Finalmente:
T_{AC} = \frac{\dfrac{157}{5}}{\dfrac{31}{20}} = \frac{157}{5}\cdot\frac{20}{31} = \frac{157\cdot 4}{31} = \frac{628}{31}.
Podemos dar a forma decimal (usando vírgula como separador):
\frac{628}{31}=20{,}2580645\ldots \approx 20{,}258^\circ\mathrm{C}.
Também é possível expressar como mistura de inteiro e fração: 20\frac{8}{31}^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Resumo didático da solução da Questão 75 (como você faria na prova): definimos razões entre calores específicos porque as massas são iguais; usamos a conservação de energia para duas misturas dadas para obter duas equações que nos deram as razões \,c_A/c_B e \,c_C/c_B; com essas razões aplicamos a fórmula de média ponderada para achar a temperatura de equilíbrio de A e C.

Passo 7

Agora a Questão 76 — explicar a afirmação da Lia. Primeiro, vamos entender o que significa "água congelar a \,0^\circ\mathrm{C}". Essa é a temperatura de congelamento da água pura em condições padrão de pressão ( 1 atmosfera) e para volumes macroscópicos com presença de núcleos de cristalização. Porém, o comportamento de gotas muito pequenas dentro de nuvens é diferente por duas razões principais: ausência de núcleos de congelamento e efeitos de superfície (tensão superficial).

Passo 8

Conceitos fundamentais (explicação didática e passo a passo):
  • Super-resfriamento: pequenas gotas de água podem permanecer líquidas mesmo quando a temperatura está abaixo de \,0^\circ\mathrm{C}. Isso ocorre porque, para que a água se transforme em gelo, precisa-se iniciar a formação de um núcleo cristalino. Se não houver partículas sólidas (aerossóis, poeira, cristais de gelo) que facilitem a nucleação, as gotas podem ficar líquidas em temperaturas bem negativas.
  • Nucleação heterogênea vs. homogênea:
    • Nucleação heterogênea: quando há partículas (núcleos de gelo) na gota ou ao seu contato que facilitam a formação do cristal. Com núcleos adequados, a água pode congelar em temperaturas próximas a \,0^\circ\mathrm{C} (por exemplo algo em torno de -5^\circ\mathrm{C} até próximo de 0^\circ\mathrm{C}, dependendo do tipo de núcleo).
    • Nucleação homogênea: ocorre em água extremamente pura sem núcleos; aí a gota só congela quando a sub-refrigeração é grande — na prática, para gotas em nuvens a nucleação homogênea ocorre por volta de -38^\circ\mathrm{C}.
  • Conclusão física: portanto, gelo em nuvens não precisa (e muitas vezes não) se formar exatamente em \,0^\circ\mathrm{C}. Gotas podem permanecer líquidas abaixo de \,0^\circ\mathrm{C} (super-resfriadas) e o gelo pode aparecer tanto perto de 0^\circ\mathrm{C} se houver núcleos apropriados, quanto muito abaixo de \,0^\circ\mathrm{C} devido à nucleação homogênea.

Passo 9

Exemplos numéricos e interpretação prática (para fixar): gotículas de nuvem frequentemente permanecem líquidas até -10^\circ\mathrm{C} ou -20^\circ\mathrm{C} se não houver núcleos eficientes; se aparecerem núcleos de gelo ou partículas de certo tipo, congelamento pode ocorrer já abaixo de -5^\circ\mathrm{C} ou próximo de 0^\circ\mathrm{C}. O limite de -38^\circ\mathrm{C} é uma referência típica para nucleação homogênea de água pura em gotas.

Passo 10

Resposta curta e direta para a prova (como dizer em poucas palavras): a afirmação da Lia é incompleta/errada como regra geral — água pura tem ponto de congelamento \,0^\circ\mathrm{C} em condições padrão, mas gotas de nuvem podem ficar super-resfriadas e congelar muito abaixo de \,0^\circ\mathrm{C} ou congelar próximo de \,0^\circ\mathrm{C} se houver núcleos de gelo. Portanto não se pode afirmar que o gelo nas nuvens tem que se formar necessariamente próximo de \,0^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\displaystyle T_{AC}=\frac{628}{31}^\circ\mathrm{C}\approx 20{,}258^\circ\mathrm{C}
Lia está incorreta em termos gerais: gotas de nuvem podem permanecer super-resfriadas e só congelar bem abaixo de 0^\circ\mathrm{C} (nucleação homogênea por volta de -38^\circ\mathrm{C}); com núcleos de gelo presentes o congelamento pode ocorrer mais perto de 0^\circ\mathrm{C}, mas não é obrigatório que o gelo nas nuvens se forme sempre próximo de 0^\circ\mathrm{C}.

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