Ulm gás ideal sofre expansão reversível isotérmica a 90,0^{\circ} \mathrm{C}, de 1,20 \mathrm{~L} para 3,00 \mathrm{~L}. A variação de entropia é de 30,0 \mathrm{~J} / \mathrm{K} Quantos mols de gás há?

Passo 1

O enunciado pede quantos mols de um gás ideal existem, sabendo que o gás sofre expansão reversível isotérmica a 90,0^\circ\mathrm{C} de 1,20\\ \mathrm{L} para 3,00\\ \mathrm{L} e que a variação de entropia é \Delta S = 30,0\\ \mathrm{J/K}.
Informações dadas:
  • Temperatura inicial (e constante do processo): T = 90,0^\circ\mathrm{C}.
  • Volume inicial: V_i = 1,20\\ \mathrm{L}.
  • Volume final: V_f = 3,00\\ \mathrm{L}.
  • Variação de entropia: \Delta S = 30,0\\ \mathrm{J/K}.
O que se pede:
  • Calcular o número de mols n do gás.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Para um processo isotérmico reversível a temperatura constante T, a variação de entropia é dada por
\Delta S=\int \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}=\frac{Q_{\text{rev}}}{T},
porque T é constante durante o processo. Aqui \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado reversivelmente e Q_{\text{rev}} é o calor total trocado.
  • Para um gás ideal em processo isotérmico a energia interna não muda ( \Delta U=0). Pela primeira lei \Delta U=Q+W (onde W é o trabalho sobre o sistema); portanto o calor trocado reversivelmente tem módulo igual ao trabalho de expansão. O resultado padrão para o calor em uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal é
Q_{\text{rev}}=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right),
onde R é a constante universal dos gases e n o número de mols.
  • Substituindo em \Delta S=Q_{\text{rev}}/T obtemos a relação direta útil:
\Delta S = nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Essa fórmula mostra que a variação de entropia para essa expansão depende só de n, R e da razão volumétrica V_f/V_i. Se V_f>V_i a variação é positiva, como faz sentido fisicamente.

Passo 3

Isolar n a partir da fórmula:
n=\frac{\Delta S}{R\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)}.
Agora vamos substituir os valores numéricos. Primeiro, converter a temperatura para Kelvin apenas por completude (não é necessária aqui porque T cancelou), mas segue a conversão:
T=90,0^\circ\mathrm{C}=90,0+273,15=363,15\\ \mathrm{K}.
Constante dos gases (valor usado):
R=8,314462618\\ \mathrm{J/(mol\\ K)}.
Calcular a razão volumétrica e seu logaritmo natural:
\frac{V_f}{V_i}=\frac{3,00}{1,20}=2,50,
\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=\ln(2,50)=0,9162907\\ (\text{aprox.}).
Calcular o denominador R\ln(V_f/V_i):
R\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=8,314462618\times 0,9162907\approx 7,61846\\ \mathrm{J/(mol\\ K)}.
Agora calcular n:
n=\frac{30,0}{7,61846}\approx 3,938\\ \mathrm{mol}.

Passo 4

Arredondando com base nas cifras significativas dos dados (todos os dados têm três algarismos significativos), apresentamos n com três algarismos significativos:
n\approx 3,94\\ \mathrm{mol}.
Pequeno comentário de ânimo: beleza — deu trabalho, mas a conta é direta quando se lembra que em isotérmico ideal \Delta S=nR\ln(V_f/V_i). Mandou bem por trazer o exercício!

Resposta

n=3,94\\ \mathrm{mol}

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