A 700 K , a constante de velocidade para a reação
\mathrm{H}_{2}+\mathrm{I}_{2} \rightarrow 2 \mathrm{HI}
é 6,42 \times 10^{-2} \mathrm{~L} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}. A energia de ativação ( \mathrm{E}_{\mathrm{A}} ) é 167 kJ . Calcule a constante de velocidade prevista pela teoria das colisões, usando \mathrm{dH}_{2}=225 \mathrm{pm} e \mathrm{dI}_{2}=559 \mathrm{pm} ; \mathrm{m}\left(\mathrm{H}_{2}\right)= 2 u e \mathrm{m}\left(\mathrm{I}_{2}\right)=254 u. Considere o fator de colisão igual a 1.
Compare o valor de k com o valor experimental e discuta se é razoável supor que essa reação requer orientações moleculares específicas para que ocorra.
Dados:
\mathrm{k}_{\mathrm{B}}=1,381 \times 10^{-23} \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} ; \mathrm{N}_{\mathrm{A}}=6,022 \times 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1} ; 1 \mathrm{u}=1,66054.10-27 \mathrm{~kg} ; \mathrm{R}= 8,314 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} ; 1 \mathrm{pm}=10^{-12} \mathrm{~m}

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.\n
  • Pedidos: calcular a constante de velocidade prevista pela teoria das colisões para a reação \mathrm{H}_2+\mathrm{I}_2\to 2\mathrm{HI} a T=700\\ \mathrm{K}, usando fator de colisão (fator estérico) p=1; comparar esse valor com o valor experimental k_{\text{exp}}=6,42\times10^{-2}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}} e discutir se é razoável supor necessidade de orientações moleculares específicas. \n
  • Dados fornecidos (vou listar todos exatamente como foram dados):\n
    \;T=700\\ \mathrm{K}.\n
    \;k_{\text{exp}}=6,42\times10^{-2}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}.\n
    \;E_A=167\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}=167000\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.\n
    \;d_{\mathrm{H}_2}=225\\ \mathrm{pm}.\n
    \;d_{\mathrm{I}_2}=559\\ \mathrm{pm}.\n
    \;m(\mathrm{H}_2)=2\\ \mathrm{u}.\n
    \;m(\mathrm{I}_2)=254\\ \mathrm{u}.\n
    Constantes: \;k_B=1,381\times10^{-23}\\ \mathrm{J\;K^{-1}},\;N_A=6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}},\;1\\ \mathrm{u}=1,66054\times10^{-27}\\ \mathrm{kg},\;R=8,314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}},\;1\\ \mathrm{pm}=10^{-12}\\ \mathrm{m}.\n
  • Observação: vou usar a expressão da teoria das colisões para reações bimoleculares elementares e mostrar cada passo de conversão e cálculo.

Passo 2

Formulação da teoria das colisões e definição das grandezas (aula curta e derivação do que vou usar).\n
  • Ideia física: a taxa de reação por volume (em mol m^{-3} s^{-1}) é número de colisões efetivas por volume por tempo multiplicado por 1/N_A (para converter reações em mol) e pelo fator de probabilidade de energia (Barreira) \exp(-E_A/(RT)) e pelo fator estérico p.\n
  • A frequência de colisões por volume entre espécies A e B (contando colisões por \mathrm{m}^3 por segundo) é\n Z_{AB}=n_A n_B \sigma_{AB}\,\bar{v}_{\text{rel}},\nonde \;n_A,n_B são densidades numéricas (partículas por \mathrm{m}^3), \sigma_{AB} é a seção de choque (m^2) e \bar{v}_{\text{rel}} é a velocidade relativa média (m/s).\n
  • Convertendo para concentrações molares [A],[B] (em \mathrm{mol\;m^{-3}}): n_A=N_A[A] e n_B=N_A[B]. O número de reações por volume por tempo em mol \rho é\n \rho=\frac{p\,Z_{AB}\,\exp(-E_A/(RT))}{N_A} = p\,\frac{N_A^2[A][B]\sigma_{AB}\bar{v}_{\text{rel}}}{N_A}\,\exp\!\left(-\frac{E_A}{RT}\right).\n
  • Assim o coeficiente cinético k (na forma r=k[A][B], com r em \mathrm{mol\;m^{-3}\;s^{-1}}) é\n \boxed{\,k = p\,N_A\,\sigma_{AB}\,\bar{v}_{\text{rel}}\,\exp\!\left(-\frac{E_A}{RT}\right)\,}\nExplicando cada termo:\n
    • \;p é o fator estérico (probabilidade geométrica/orientacional de que uma colisão eficaz ocorra); o enunciado diz para considerar p=1.\n
    • \;\sigma_{AB} é a seção eficaz de colisão entre duas esferas de diâmetros d_A e d_B:\n \boxed{\,\sigma_{AB}=\pi(r_A+r_B)^2=\frac{\pi}{4}\,(d_A+d_B)^2\,}\n
    • \;\bar{v}_{\text{rel}} é a velocidade relativa média entre duas partículas de massas m_A,m_B (em kg), dada pela distribuição de velocidade relativa de Maxwell:\n \boxed{\,\bar{v}_{\text{rel}}=\sqrt{\frac{8k_B T}{\pi\mu}}\,}\n
    onde \mu é a massa reduzida:\n \boxed{\,\mu=\frac{m_A m_B}{m_A+m_B}\,.}\n
  • Unidades: a expressão dada fornece k em \mathrm{m^3\;mol^{-1}\;s^{-1}}. Para comparar com o experimental em \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}} basta multiplicar por 1000 ( 1\\ \mathrm{m^3}=1000\\ \mathrm{L}).

Passo 3

Cálculos numéricos — converter dados e calcular \sigma_{AB}, \mu, \bar{v}_{\text{rel}}, o fator exponencial e finalmente k.\n
  1. Converter diâmetros para metros:\n d_{\mathrm{H}_2}=225\\ \mathrm{pm}=225\times10^{-12}\\ \mathrm{m}=2{,}25\times10^{-10}\\ \mathrm{m},\n d_{\mathrm{I}_2}=559\\ \mathrm{pm}=559\times10^{-12}\\ \mathrm{m}=5{,}59\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.\n
  2. Calcular a seção de choque \sigma_{AB}:\n d_{\text{som}}=d_{\mathrm{H}_2}+d_{\mathrm{I}_2}=2{,}25\times10^{-10}+5{,}59\times10^{-10}=7{,}84\times10^{-10}\\ \mathrm{m},\n \sigma_{AB}=\frac{\pi}{4}(d_{\text{som}})^2=\frac{\pi}{4}\,(7{,}84\times10^{-10})^2.\n
Calcule o quadrado:\n (7{,}84\times10^{-10})^2=6{,}14656\times10^{-19}\\ \mathrm{m^2}.\n
Agora a seção:\n \sigma_{AB}=0{,}785398\cdot6{,}14656\times10^{-19}=4{,}825\times10^{-19}\\ \mathrm{m^2}.\n
(Arredondei mantendo dígitos significativos razoáveis.)\n
  1. Converter massas de u para kg:\n m(\mathrm{H}_2)=2{,}00\\ \mathrm{u}=2{,}00\times1{,}66054\times10^{-27}=3{,}32108\times10^{-27}\\ \mathrm{kg},\n m(\mathrm{I}_2)=254\\ \mathrm{u}=254\times1{,}66054\times10^{-27}=4{,}21777\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}.\n
  2. Calcular a massa reduzida \mu:\n \mu=\frac{m_A m_B}{m_A+m_B}=\frac{3{,}32108\times10^{-27}\cdot4{,}21777\times10^{-25}}{3{,}32108\times10^{-27}+4{,}21777\times10^{-25}}.\n
Como m_{I_2}\gg m_{H_2}, \mu fica próxima de m_{H_2}, fazendo o cálculo obtemos\n \mu\approx3{,}296\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.\n
  1. Calcular a velocidade relativa média \bar{v}_{\text{rel}}:\n \bar{v}_{\text{rel}}=\sqrt{\frac{8k_B T}{\pi\mu}} =\sqrt{\frac{8\cdot(1{,}381\times10^{-23})\cdot700}{\pi\cdot(3{,}296\times10^{-27})}}.\n
Calcule o argumento da raiz:\n \frac{8\cdot1{,}381\times10^{-23}\cdot700}{\pi\cdot3{,}296\times10^{-27}}\approx7{,}47\times10^{6},\n
logo\n \bar{v}_{\text{rel}}\approx\sqrt{7{,}47\times10^{6}}\approx2{,}73\times10^{3}\\ \mathrm{m\;s^{-1}}.\n
  1. Calcular o fator de Boltzmann/Energia de ativação:\n \frac{E_A}{RT}=\frac{167000}{8{,}314\cdot700}\approx28{,}70,\n
então\n \exp\!\left(-\frac{E_A}{RT}\right)\approx\exp(-28{,}70)\approx3{,}5\times10^{-13}.\n
  1. Calcular o produto N_A\,\sigma_{AB}\,\bar{v}_{\text{rel}}:\n \sigma_{AB}\bar{v}_{\text{rel}}=(4{,}825\times10^{-19})\cdot(2{,}73\times10^{3})\approx1{,}319\times10^{-15}\\ \mathrm{m^3\;s^{-1}},\n N_A\sigma_{AB}\bar{v}_{\text{rel}}=(6{,}022\times10^{23})\cdot1{,}319\times10^{-15}\approx7{,}94\times10^{8}\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}\;s^{-1}}.\n
  2. Finalmente calcular k (com p=1):\n k = p\,N_A\,\sigma_{AB}\,\bar{v}_{\text{rel}}\,\exp\!\left(-\frac{E_A}{RT}\right) \approx(1)\cdot(7{,}94\times10^{8})\cdot(3{,}5\times10^{-13})\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}\;s^{-1}}.\n
k\approx2{,}76\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}\;s^{-1}}.\n
  1. Converter para \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}} (multiplicar por 1000):\n k\approx2{,}76\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}\;s^{-1}}=0{,}276\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}.

Passo 4

Comparação com o valor experimental e interpretação (fator estérico e orientação).\n
  • Valor experimental: \;k_{\text{exp}}=6{,}42\times10^{-2}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}.\n
  • Nosso valor previsto pela teoria das colisões (com p=1): \;k_{\text{pred}}\approx0{,}276\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}.\n
  • Razão entre predito e experimental:\n \frac{k_{\text{pred}}}{k_{\text{exp}}}\approx\frac{0{,}276}{0{,}0642}\approx4{,}3,\n
ou seja, a teoria das colisões (com p=1) superestima a constante em aproximadamente um fator 4{,}3.\n
  • Se quisermos ajustar o fator estérico real p_{\text{real}} para que a teoria colida com o experimental, temos\n p_{\text{real}}=\frac{k_{\text{exp}}}{k_{\text{pred}}}\approx\frac{0{,}0642}{0{,}276}\approx0{,}23.\n
Interpretação: p_{\text{real}}\approx0{,}23 significa que somente cerca de 23\% das colisões que têm energia suficiente são efetivas — isto é, muitas colisões não levam à reação, possivelmente porque as moléculas não estão bem orientadas no momento da colisão ou porque a ideia de esferas rígidas superestima a seção eficaz real. Portanto há um requisito moderado de orientação molecular (o fator estérico não é extremamente pequeno, mas claramente menor que 1).\n
  • Observações adicionais (fontes de diferença): aproximação de esferas rígidas, incerteza nos diâmetros usados, efeitos dinâmicos do complexo ativado, possíveis barreiras adicionais ou restrições geométricas, e limitações da teoria de colisões (é uma teoria simples). Tudo isso pode reduzir a eficiência além da orientação estrita.

Resposta

k_{\text{pred}}\approx0{,}276\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}.\n
Comparação: k_{\text{exp}}=6{,}42\times10^{-2}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}; o fator estérico requerido é p\approx0{,}23. Isso indica que é razoável supor que a reação exige orientações moleculares específicas (ou outras restrições cinéticas) para ocorrer.

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