O tempo de meia-vida de uma reação de primeira ordem é 30 minutos. (a) Calcule a constante de velocidade da reação. (b) Qual a fração de reagente permanece após 70 minutos?
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede duas coisas.
- Dado: a meia-vida da reação é
minutos. - Perguntas:
(a) Calcular a constante de velocidadeda reação.
(b) Calcular a fração do reagente que permanece apósminutos.
Passo 2
Entendendo a relação que vamos usar (aula rápida e prática).
Para uma reação de primeira ordem a taxa de decaimento da concentração obedece à equação diferencial
Para uma reação de primeira ordem a taxa de decaimento da concentração
onde:
-
é a concentração do reagente no tempo , -
é a constante de velocidade (o que queremos em (a)), -
é o tempo.
Essa equação diz que a velocidade de diminuição da concentração é proporcional à própria concentração — é o que define “primeira ordem”.
Passo 3
Resolver a equação diferencial (passo a passo, como fazer na prova).
Separe variáveis e integre:
Separe variáveis e integre:
Integre dos tempos
a
e das concentrações
(inicial) a
:
As integrais resultam em
Essa é a forma integrada para primeira ordem. Isolando a razão
temos
Aqui
é a função exponencial natural; no papel da prova você pode usar a relação com logaritmo natural
.
Passo 4
Derivar a fórmula da meia-vida e calcular
.
A meia-vida é o tempo em que
. Use a fórmula integrada com
:
A meia-vida
Tome o logaritmo natural em ambos os lados:
Como
, obtemos a relação clássica
Agora isole
:
Substituindo
e
minutos:
Arredondando de forma prática para a prova:
.
Observação sobre unidades: como está em minutos,
tem unidade
.
Observação sobre unidades: como
Passo 5
Calcular a fração que permanece após
minutos (usar a fórmula integrada).
Usamos
Usamos
Substitua
e
min:
Calcule o produto no expoente:
Logo
Interpretação: cerca de
do reagente permanece após
minutos.
(Alternativa curta que às vezes aparece em prova: use
. Então
, que dá o mesmo número.)
Passo 6
Resumo final rápido para decorar e usar na prova:
- Fórmula útil:
. - Decaimento:
(ou ). - Substitua números e calcule com cuidado os logaritmos/exponenciais.
Resposta
(a)
(b)
(ou
)