O tempo de meia-vida de uma reação de primeira ordem é 30 minutos. (a) Calcule a constante de velocidade da reação. (b) Qual a fração de reagente permanece após 70 minutos?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede duas coisas.
  • Dado: a meia-vida da reação é \,t_{1/2}=30 minutos.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a constante de velocidade \,k da reação.
    (b) Calcular a fração do reagente que permanece após \,70 minutos.

Passo 2

Entendendo a relação que vamos usar (aula rápida e prática).
Para uma reação de primeira ordem a taxa de decaimento da concentração [A] obedece à equação diferencial
\frac{d[A]}{dt} = -k[A],
onde:
  • [A] é a concentração do reagente no tempo t,
  • k é a constante de velocidade (o que queremos em (a)),
  • t é o tempo.
Essa equação diz que a velocidade de diminuição da concentração é proporcional à própria concentração — é o que define “primeira ordem”.

Passo 3

Resolver a equação diferencial (passo a passo, como fazer na prova).
Separe variáveis e integre:
\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt.
Integre dos tempos 0 a t e das concentrações [A]_0 (inicial) a [A](t):
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]} = \int_{0}^{t} -k\,dt.
As integrais resultam em
\ln\!\left(\frac{[A](t)}{[A]_0}\right) = -kt.
Essa é a forma integrada para primeira ordem. Isolando a razão [A](t)/[A]_0 temos
\frac{[A](t)}{[A]_0} = e^{-kt}.
Aqui \exp é a função exponencial natural; no papel da prova você pode usar a relação com logaritmo natural \ln.

Passo 4

Derivar a fórmula da meia-vida e calcular k.
A meia-vida t_{1/2} é o tempo em que [A](t_{1/2}) = \tfrac{[A]_0}{2}. Use a fórmula integrada com t=t_{1/2}:
\frac{1}{2} = e^{-k t_{1/2}}.
Tome o logaritmo natural em ambos os lados:
\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -k t_{1/2}.
Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln 2, obtemos a relação clássica
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Agora isole k:
k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Substituindo \ln 2 \approx 0,693147 e \,t_{1/2}=30 minutos:
k \approx \frac{0,693147}{30} \approx 0,0231049\\ \text{min}^{-1}.
Arredondando de forma prática para a prova: k \approx 0,0231\\ \text{min}^{-1}.
Observação sobre unidades: como t está em minutos, k tem unidade \text{min}^{-1}.

Passo 5

Calcular a fração que permanece após \,70 minutos (usar a fórmula integrada).
Usamos
\frac{[A](t)}{[A]_0} = e^{-kt}.
Substitua k \approx 0,0231049\\ \text{min}^{-1} e t=70 min:
\frac{[A](70)}{[A]_0} = e^{-0,0231049 \times 70}.
Calcule o produto no expoente:
0,0231049 \times 70 \approx 1,617343.
Logo
\frac{[A](70)}{[A]_0} \approx e^{-1,617343} \approx 0,1986.
Interpretação: cerca de 19,86\% do reagente permanece após 70 minutos.
(Alternativa curta que às vezes aparece em prova: use \frac{[A](t)}{[A]_0}=2^{-t/t_{1/2}}. Então \frac{[A](70)}{[A]_0}=2^{-70/30}=2^{-7/3}, que dá o mesmo número.)

Passo 6

Resumo final rápido para decorar e usar na prova:
  • Fórmula útil: \,t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}.
  • Decaimento: \dfrac{[A](t)}{[A]_0}=e^{-kt} (ou (1/2)^{t/t_{1/2}}).
  • Substitua números e calcule com cuidado os logaritmos/exponenciais.

Resposta

(a) k = 0,0231\\ \text{min}^{-1}
(b) \dfrac{[A](70)}{[A]_0} \approx 0,1986 (ou 19,86\%)

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