Uma reação com energia de ativação de 84,6 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1} possui uma constante de velocidade de 0,00681 \mathrm{~L} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~s}^{-1} a 52{ }^{\circ} \mathrm{C}. Qual será a constante de velocidade a 102^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a constante de velocidade a 102^{\circ}\mathrm{C}, sabendo que a energia de ativação é 84{,}6\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}} e que a constante é 0{,}00681\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}\\ s^{-1}} a 52^{\circ}\mathrm{C}. Dados fornecidos:
E_a = 84{,}6\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}},
k_1 = 0{,}00681\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}\\ s^{-1}}\\ \text{a}\\ T_1 = 52^{\circ}\mathrm{C},
T_2 = 102^{\circ}\mathrm{C}.
Pergunta: qual é k_2, a constante de velocidade à temperatura T_2?

Passo 2

Apresento a fórmula que usamos: a equação de Arrhenius, que relaciona a constante de velocidade k com a energia de ativação E_a, a constante dos gases R, a temperatura T e um pré-fator A:
k = A \exp\!\left(-\dfrac{E_a}{R\,T}\right).
Aqui:
  • \,k é a constante de velocidade (mesmas unidades de k_1);
  • \,A é o fator pré-exponencial (não precisamos conhecê-lo diretamente);
  • \,E_a é a energia de ativação (em \mathrm{J\\ mol^{-1}});
  • \,R é a constante dos gases ( 8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}});
  • \,T é a temperatura em kelvin.
Como não conhecemos A, usamos a forma entre duas temperaturas que elimina A:
\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right) = \dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\right).
Essa fórmula vem de dividir as duas expressões de Arrhenius para k_1 e k_2 e aplicar logaritmo natural.

Passo 3

Converto as temperaturas para kelvin e a energia de ativação para joules por mol (para consistência com R):
T_1 = 52^{\circ}\mathrm{C} = 52 + 273 = 325\\ \mathrm{K},
T_2 = 102^{\circ}\mathrm{C} = 102 + 273 = 375\\ \mathrm{K},
E_a = 84{,}6\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}} = 84{,}6\times 10^3\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}} = 84600\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.

Passo 4

Calculo a diferença \dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}. É prático usar a forma com produto:
\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2} = \dfrac{T_2-T_1}{T_1 T_2} = \dfrac{375-325}{325\cdot 375} = \dfrac{50}{121875}.
Agora faço a divisão:
\dfrac{50}{121875} \approx 0{,}00041025641\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 5

Calculo o fator \dfrac{E_a}{R}:
\dfrac{E_a}{R} = \dfrac{84600\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}}{8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}} \approx 10175{,}61\\ \mathrm{K}.
(esse valor é adimensional no produto com \mathrm{K^{-1}}, resultando no argumento do logaritmo).

Passo 6

Agora calculo o logaritmo natural da razão das constantes:
\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right) = 10175{,}61 \times 0{,}00041025641 \approx 4{,}17461.

Passo 7

Exponencio para obter a razão k_2/k_1:
\dfrac{k_2}{k_1} = e^{4{,}17461} \approx 65{,}012.

Passo 8

Multiplico pela constante conhecida k_1 para achar k_2:
k_2 = k_1 \times 65{,}012 = 0{,}00681\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}\\ s^{-1}} \times 65{,}012 \approx 0{,}4427\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}\\ s^{-1}}.
Arredondando para três algarismos significativos (consistente com os dados dados),
k_2 \approx 0{,}443\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}\\ s^{-1}}.

Resposta

k_2 = 0{,}443\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}\\ s^{-1}}

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