2-70E The pressure on the suction side of pumps is typically low, and the surfaces on that side of the pump are susceptible to cavitation, especially at high fluid temperatures. If the minimum pressure on the suction side of a water pump is 0.95 psia absolute, determine the maximum water temperature to avoid the danger of cavitation.

Passo 1

O enunciado dá a pressão mínima absoluta na sucção da bomba e pede a máxima temperatura da água que evita cavitação. Informações relevantes:
  • Pressão mínima absoluta na sucção: 0,95\\ \mathrm{psia}.
  • Para evitar cavitação, a pressão local não deve cair até a pressão de vapor da água (ou seja, a pressão de vapor da água à temperatura de operação deve ser menor que 0,95\\ \mathrm{psia}).
    A tarefa: encontrar a temperatura de saturação da água cuja pressão de vapor seja igual a 0,95\\ \mathrm{psia}; essa será a temperatura limite (máxima) para não haver cavitação.

Passo 2

Conceito físico e estratégia prática (explicadinha): cavitação ocorre quando a pressão do líquido cai até a sua pressão de vapor; bolhas de vapor se formam e podem colapsar danificando a bomba. Então a condição segura é
p_{\text{vap}}(T)<p_{\text{mín}},í
e o limite é quando
p_{\text{vap}}(T)=p_{\text{mín}}.í
Logo vamos achar a temperatura de saturação T tal que a pressão de vapor da água seja 0,95\\ \mathrm{psia}. Para relacionar pressão e temperatura usaremos a equação de Antoine (uma forma empírica comum que dá pressão de vapor em função da temperatura).

Passo 3

Apresentando a equação de Antoine e as constantes que usarei:
A forma (com pressão em mmHg e temperatura em ^\circ\mathrm{C}) é
\log_{10} p_{\text{mmHg}} = A - \frac{B}{C+T},
onde p_{\text{mmHg}} é a pressão em milímetros de mercúrio e T é a temperatura em ^\circ\mathrm{C}. Para água (intervalo aproximado 1–100 ^\circC) usamos os valores:
A=8,07131,\quad B=1730,63,\quad C=233,426.
Observação sobre unidades: como a equação dá p em \mathrm{mmHg} vamos primeiro converter 0,95\\ \mathrm{psia} para \mathrm{mmHg}. (Explico as conversões: 1\\ \text{atm}=760\\ \mathrm{mmHg}=14,696\\ \mathrm{psia}.)

Passo 4

Converter 0,95\\ \mathrm{psia} para \mathrm{mmHg}. Fazendo a regra de três com 1\\ \text{atm}=760\\ \mathrm{mmHg}=14,696\\ \mathrm{psia}:
p_{\text{mmHg}} = 0,95\\ \mathrm{psia}\times\frac{760\\ \mathrm{mmHg}}{14,696\\ \mathrm{psia}}.
Calculando:
p_{\text{mmHg}} \approx 0,95\times 51,72413793 \approx 49,137\\ \mathrm{mmHg}.

Passo 5

Agora usamos a equação de Antoine e resolvemos para T. Primeiro tomamos logaritmo base 10 de p_{\text{mmHg}}:
\log_{10}(49,137)\approx 1,69154.
Rearranjando a equação de Antoine para T:
A-\log_{10} p = \frac{B}{C+T}\quad\Longrightarrow\quad C+T=\frac{B}{A-\log_{10} p}
\Longrightarrow\quad T=\frac{B}{A-\log_{10} p}-C.
Agora plugamos os números:
T=\frac{1730,63}{8,07131-1,69154}-233,426.
Calculemos o denominador e a divisão:
8,07131-1,69154=6,37977,
\frac{1730,63}{6,37977}\approx 271,247,
T\approx 271,247-233,426=37,821\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Converter para ^\circ\mathrm{F} (caso prefira unidades imperiais). A fórmula de conversão é
T(^{\circ}\mathrm{F})=T(^{\circ}\mathrm{C})\cdot\frac{9}{5}+32.
Aplicando:
T(^{\circ}\mathrm{F})=37,821\cdot\frac{9}{5}+32\approx 100,08\\ ^\circ\mathrm{F}.

Passo 7

Interpretação e arredondamento final: a temperatura de saturação correspondente a 0,95\\ \mathrm{psia} é aproximadamente 37,82\\ ^\circ\mathrm{C}. Para não haver cavitação a água deve estar a uma temperatura inferior a esse valor; portanto a máxima temperatura permissível (limite) é cerca de 37,82\\ ^\circ\mathrm{C} (aprox. 100,08\\ ^\circ\mathrm{F}). Força aí — se a água estiver mais quente, a pressão de vapor sobe e a bomba fica sujeita à cavitação.

Resposta

T_{\max}=37,82^\circ\mathrm{C}
T_{\max}=100,08^\circ\mathrm{F}

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