2-77 Derive a relation for the capillary rise of a liquid between two large parallel plates a distance t apart inserted into the liquid vertically. Take the contact angle to be \varphi.

Passo 1

O enunciado pede: obter uma relação para a elevação capilar h de um líquido entre duas placas paralelas muito grandes, separadas por uma distância t, quando as placas são inseridas verticalmente no líquido. O ângulo de contato entre o líquido e as placas é \varphi.
Informações e quantidades dadas (que vamos usar):
\gamma\\ \text{(tensão superficial do líquido)},\qquad \rho\\ \text{(massa volumétrica do líquido)},\qquad g\\ \text{(aceleração da gravidade)},\qquad t\\ \text{(separação entre as placas)},\qquad \varphi\\ \text{(ângulo de contato, medido no interior do líquido)}.ãíéíçãçãâí
O objetivo: expressar h em função de \gamma,\\ \rho,\\ g,\\ t,\\ \varphi.

Passo 2

Entendendo a física básica (passo-a-passo, sem pular): a subida capilar ocorre porque a interface líquido-gás fica curva e essa curvatura causa uma diferença de pressão entre os lados da superfície (efeito de Laplace). Vamos usar a fórmula de Laplace para a diferença de pressão através de uma superfície curva:
\Delta P = P_{\text{gás}} - P_{\text{líq}} = \gamma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right),áí
onde \Delta P é a diferença entre a pressão do gás e a pressão do líquido imediatamente sob a superfície, \gamma é a tensão superficial, e R_1,R_2 são os raios de curvatura principais da superfície. É importante entender cada termo: \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} é a soma das curvaturas principal e secundária da superfície.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Laplace ao nosso caso geométrico: entre duas placas muito largas a menisco, visto na seção transversal (plano perpendicular às placas), é aproximadamente um arco de círculo (ou seja, a superfície tem curvatura somente no plano perpendicular às placas). Ao longo da direção paralela às arestas das placas a superfície é praticamente plana (raio de curvatura infinito). Logo um dos raios é infinito e sua contribuição à curvatura é zero:
\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{1}{R}+0=\frac{1}{R},
onde R é o raio de curvatura do arco circular que conecta as placas. Assim a diferença de pressão em módulo é
P_{\text{gás}}-P_{\text{líq}}=\gamma\frac{1}{R}.áí

Passo 4

Agora vamos relacionar esse \Delta P com a subida h por equilíbrio hidrostático. Escolha como referência o nível livre do líquido no reservatório longe das placas (pressão do gás acima desse reservatório é P_{\text{gás}}=P_{\text{atm}}á). O ponto do líquido imediatamente sob o menisco está a uma altura h acima desse nível de referência, então pela lei dos fluidos estáticos a pressão no líquido imediatamente abaixo do menisco é
P_{\text{líq}} = P_{\text{atm}} - \rho g h.í
Portanto a diferença entre a pressão do gás (atmosfera) e a do líquido no menisco é
P_{\text{gás}}-P_{\text{líq}} = P_{\text{atm}} - \big(P_{\text{atm}} - \rho g h\big) = \rho g h.áí
Em palavras: o gás “aperta” o líquido em \rho g h devido à coluna de líquido elevada.

Passo 5

Igualamos a expressão obtida por Laplace (Passo 3) com a expressão hidrostática (Passo 4):
\rho g h = \gamma\frac{1}{R}.
Logo precisamos só expressar R em função de t e \varphi.

Passo 6

Determinar R pela geometria do menisco. Considere a seção transversal: o menisco é um arco de círculo que toca as duas placas verticais separadas por t. No ponto de contato com uma placa vertical, o ângulo entre a tangente à superfície e a parede vertical (medido no interior do líquido) é exatamente o ângulo de contato \varphi. Agora faça a análise geométrica do círculo:
  • Tome o centro do círculo e o raio R.
  • Considere a meia-distância horizontal entre o centro do arco e o ponto de contato: essa distância é t/2.
  • O raio R projetado horizontalmente até o ponto de contato forma um cateto do triângulo que tem como ângulo com a vertical exatamente \varphi. Isso implica que a relação trigonométrica é
\cos\varphi = \frac{t/2}{R}.
Nota explicativa: aqui explicito o raciocínio — o raio do círculo é normal à superfície no ponto de contato; o ângulo entre a normal (raio) e a horizontal/vertical pode ser relacionado ao ângulo de contato, e a projeção horizontal do raio vale t/2. Portanto isolamos R.

Passo 7

Isolando R da relação trigonométrica do passo anterior:
R = \frac{t/2}{\cos\varphi} = \frac{t}{2\cos\varphi}.
Isso faz sentido fisicamente: se \varphi é pequeno (molhabilidade grande), \cos\varphi é próximo de 1 e R\approx t/2; se \varphi aumenta para 90^\circ, \cos\varphi\to0 e R cresce (menisco quase plano).

Passo 8

Voltando à igualdade de Pressão (Passo 5) e substituindo R de (Passo 7):
\rho g h = \gamma\frac{1}{R} = \gamma\frac{1}{\,t/(2\cos\varphi)\,} = \gamma\frac{2\cos\varphi}{t}.
Isolando h:
h = \frac{2\gamma\cos\varphi}{\rho g\, t}.

Passo 9

Interpretações e observações práticas (curtas e úteis para prova):
  • Se \cos\varphi>0 (ângulo de contato menor que 90^\circ), h>0: ocorre subida capilar.
  • Se \cos\varphi<0 (ângulo de contato maior que 90^\circ), h<0: ocorre depressão (o líquido entra para baixo do nível externo).
  • A expressão é análoga à da subida em um tubo circular, substituindo o raio efetivo por t/2.

Resposta

h=\frac{2\gamma\cos\varphi}{\rho g\, t}

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