2-77 Derive a relation for the capillary rise of a liquid between two large parallel plates a distance
apart inserted into the liquid vertically. Take the contact angle to be
.
Passo 1
O enunciado pede: obter uma relação para a elevação capilar
de um líquido entre duas placas paralelas muito grandes, separadas por uma distância
, quando as placas são inseridas verticalmente no líquido. O ângulo de contato entre o líquido e as placas é
.
Informações e quantidades dadas (que vamos usar):
O objetivo: expressar
em função de
.
Passo 2
Entendendo a física básica (passo-a-passo, sem pular): a subida capilar ocorre porque a interface líquido-gás fica curva e essa curvatura causa uma diferença de pressão entre os lados da superfície (efeito de Laplace). Vamos usar a fórmula de Laplace para a diferença de pressão através de uma superfície curva:
onde
é a diferença entre a pressão do gás e a pressão do líquido imediatamente sob a superfície,
é a tensão superficial, e
são os raios de curvatura principais da superfície. É importante entender cada termo:
é a soma das curvaturas principal e secundária da superfície.
Passo 3
Aplicando a fórmula de Laplace ao nosso caso geométrico: entre duas placas muito largas a menisco, visto na seção transversal (plano perpendicular às placas), é aproximadamente um arco de círculo (ou seja, a superfície tem curvatura somente no plano perpendicular às placas). Ao longo da direção paralela às arestas das placas a superfície é praticamente plana (raio de curvatura infinito). Logo um dos raios é infinito e sua contribuição à curvatura é zero:
onde
é o raio de curvatura do arco circular que conecta as placas. Assim a diferença de pressão em módulo é
Passo 4
Agora vamos relacionar esse
com a subida
por equilíbrio hidrostático. Escolha como referência o nível livre do líquido no reservatório longe das placas (pressão do gás acima desse reservatório é
). O ponto do líquido imediatamente sob o menisco está a uma altura
acima desse nível de referência, então pela lei dos fluidos estáticos a pressão no líquido imediatamente abaixo do menisco é
Portanto a diferença entre a pressão do gás (atmosfera) e a do líquido no menisco é
Em palavras: o gás “aperta” o líquido em
devido à coluna de líquido elevada.
Passo 5
Igualamos a expressão obtida por Laplace (Passo 3) com a expressão hidrostática (Passo 4):
Logo precisamos só expressar
em função de
e
.
Passo 6
Determinar
pela geometria do menisco. Considere a seção transversal: o menisco é um arco de círculo que toca as duas placas verticais separadas por
. No ponto de contato com uma placa vertical, o ângulo entre a tangente à superfície e a parede vertical (medido no interior do líquido) é exatamente o ângulo de contato
. Agora faça a análise geométrica do círculo:
- Tome o centro do círculo e o raio
. - Considere a meia-distância horizontal entre o centro do arco e o ponto de contato: essa distância é
. - O raio
projetado horizontalmente até o ponto de contato forma um cateto do triângulo que tem como ângulo com a vertical exatamente . Isso implica que a relação trigonométrica é
Nota explicativa: aqui explicito o raciocínio — o raio do círculo é normal à superfície no ponto de contato; o ângulo entre a normal (raio) e a horizontal/vertical pode ser relacionado ao ângulo de contato, e a projeção horizontal do raio vale
. Portanto isolamos
.
Passo 7
Isolando
da relação trigonométrica do passo anterior:
Isso faz sentido fisicamente: se
é pequeno (molhabilidade grande),
é próximo de 1 e
; se
aumenta para
,
e
cresce (menisco quase plano).
Passo 8
Voltando à igualdade de Pressão (Passo 5) e substituindo
de (Passo 7):
Isolando
:
Passo 9
Interpretações e observações práticas (curtas e úteis para prova):
- Se
(ângulo de contato menor que ), : ocorre subida capilar. - Se
(ângulo de contato maior que ), : ocorre depressão (o líquido entra para baixo do nível externo). - A expressão é análoga à da subida em um tubo circular, substituindo o raio efetivo por
.