2-71 A closed tank is partially filled with water at 60^{\circ} \mathrm{C}. If the air above the water is completely evacuated, determine the absolute pressure in the evacuated space. Assume the temperature to remain constant.

Passo 1

O enunciado diz que temos um tanque fechado parcialmente cheio de água à temperatura 60^\circ\mathrm{C}. O ar acima da água foi completamente evacuado (isto é, removido), e a temperatura permanece constante.
O que se pede: determinar a pressão absoluta no espaço evacuado (a cavidade acima da água) após a evacuação e estabilização térmica.
Informações relevantes fornecidas:
  • Temperatura da água e do espaço acima: 60^\circ\mathrm{C}.
  • O ar foi removido (não há mistura de gases diferentes da própria água evaporada).
  • Situação em equilíbrio térmico e de fases (temperatura constante).

Passo 2

Entendimento físico (em palavras simples): quando você retira o ar de cima da água, inicialmente a pressão ali cai muito. A água, porém, evapora até que a pressão do vapor acima da superfície aumente o suficiente para impedir evaporação líquida adicional — ou seja, atinge o equilíbrio entre evaporação e condensação. Nesse equilíbrio, a pressão do vapor acima do líquido é igual à pressão de vapor saturado da água àquela temperatura. Logo, a pressão absoluta no espaço evacuado será exatamente a pressão de vapor saturado da água a 60^\circ\mathrm{C}.
Explicação do conceito de pressão de vapor saturado: é a pressão parcial do vapor quando a fase líquida e a fase vapor estão em equilíbrio a uma dada temperatura. É uma propriedade que depende só da temperatura (para uma substância pura como a água) e não do volume do espaço vazio.

Passo 3

Como obter numericamente a pressão de vapor saturado: duas abordagens comuns (que você pode usar em prova):
  1. Consultar as tabelas de vapor (steam tables) que dão diretamente a pressão de saturação p_\mathrm{sat} para cada temperatura.
  2. Usar uma correlação empírica como a equação de Antoine, que aproxima a pressão de vapor em função da temperatura. Vou mostrar a equação de Antoine e usar ela como exemplo de cálculo (depois comento o valor da tabela, que é a referência padrão).
A equação de Antoine (forma usual) é:
\log_{10} p = A - \frac{B}{C + T}
onde:
  • p é a pressão de vapor em \mathrm{mmHg} (depende das constantes usadas),
  • T é a temperatura em ^\circ\mathrm{C},
  • A, B, C são constantes que dependem da substância e do intervalo de temperatura.
Para água, em boa parte do intervalo de temperatura próximo a 0^\circ\mathrm{C} 100^\circ\mathrm{C}, uma escolha comum de constantes (unidades de p em \mathrm{mmHg}) é:
A = 8{,}07131,\quad B = 1\,730{,}63,\quad C = 233{,}426.
Vou usar essas constantes para estimar p a 60^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Cálculo com a equação de Antoine (passo a passo e com cuidado para poder fazer na prova sem calculadora avançada):
  1. Calcular o denominador C+T:
C+T = 233{,}426 + 60 = 293{,}426.
  1. Calcular a fração B/(C+T):
\frac{B}{C+T}=\frac{1\,730{,}63}{293{,}426}\approx 5{,}8986.
  1. Calcular \log_{10} p:
\log_{10} p = A - \frac{B}{C+T} \approx 8{,}07131 - 5{,}8986 = 2{,}1727.
  1. Calcular p em \mathrm{mmHg}:
p = 10^{2{,}1727} \approx 149{,}06\\ \mathrm{mmHg}.
  1. Converter \mathrm{mmHg} para \mathrm{kPa}. Sabendo que 1\\ \mathrm{mmHg}\approx 0{,}133322\\ \mathrm{kPa},
p \approx 149{,}06 \times 0{,}133322 \approx 19{,}88\\ \mathrm{kPa}.
Esse valor é uma boa estimativa. Note que pequenas diferenças vêm das constantes usadas na Antoine e do arredondamento.

Passo 5

Valor de referência em tabelas: consultando tabelas de vapor (steam tables) para água saturada a 60^\circ\mathrm{C}, obtém-se o valor padrão
p_\mathrm{sat}(60^\circ\mathrm{C}) \approx 19{,}92\\ \mathrm{kPa}.
Esse é o valor que normalmente se usa como resposta final em exercícios e provas (a diferença para o valor via Antoine calculado acima é pequena, da ordem de 0{,}04\\ \mathrm{kPa}).

Passo 6

Conclusão prática e dica para a prova: ao evacuar o ar acima da água e manter a temperatura constante, a pressão absoluta no espaço evacuado não é zero — ela será a pressão de vapor saturado da água à temperatura dada. Na prova, ou você usa as steam tables diretamente e dá o valor de p_\mathrm{sat} para 60^\circ\mathrm{C}, ou, se não tiver tabela, pode aproximar com a equação de Antoine conforme mostrado.

Resposta

p = 19{,}92\\ \mathrm{kPa}

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