1 Um fio de cobre ( \rho=1.7 x 10^{-8} \Omega \cdot m ), de seção reta A=4,32 \mathrm{~m}^{2} e comprimento L=3,81 \mathrm{~m} é percorrido por uma corrente I de 1,00 \mathrm{~A} uniformemente distribuída. Calcule:
a) O Campo elétrico médio dentro do condutor.
b) A energia dissipada durante 30 minutos.
(a) (A) 6,28 \times 10^{-7} \mathrm{~J}, (B) 2,95 \times 10^{-7} \mathrm{~J}, (C) 3,34 \times 10^{-5} \mathrm{~J}, (D) 5,29 \times 10^{-7} \mathrm{~J}, (E) 2,16 \times 10^{-5} \mathrm{~J}, (F) 8,06 \times 10^{-9} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (G) 3,98 \times 10^{-5} \mathrm{~J}, (H) 6,77 \times 10^{-9} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (I) 1,48 \times 10^{-8} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (J) 1,14 \times 10^{-8} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (K) 9,60 \times 10^{-9} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (L) 1,53 \times 10^{-5} \mathrm{~J},(\mathrm{M}) 2,38 \times 10^{-5} \mathrm{~J},(\mathrm{~N}) 9,94 \times 10^{-5} \mathrm{~J},(\mathrm{O}) 1,13 \times 10^{-6} \mathrm{~J},(\mathrm{P}) 1,49 \times 10^{-6} \mathrm{~J}, ® 3,94 \times 10^{-9} \mathrm{~V} / \mathrm{m},
(b) (a) 10^{-8} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (C) 3,41 \times 10^{-9} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (D) 1,70 \times 10^{-8} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (F) 5,10 \times 10^{-5} \mathrm{~J}, (H) 1,04 \times 10^{-5} \mathrm{~J}, (I) 4,50 \times 10^{-7} \mathrm{~J}, (J) 2,57 \times 10^{-7} \mathrm{~J}, (K) 2,70 \times 10^{-5} \mathrm{~J},
(4 pontos)

Passo 1

O enunciado fornece um fio de cobre com:
  • resistividade \rho = 1,7\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m},
  • seção reta A = 4,32\\ \mathrm{m}^{2},
  • comprimento L = 3,81\\ \mathrm{m},
  • corrente I = 1{,}00\\ \mathrm{A} uniformemente distribuída.
Pede-se:
(a) o campo elétrico médio dentro do condutor;
(b) a energia dissipada durante 30 minutos.
Vou usar as relações da condução ôhmica em um material resistivo: densidade de corrente j, lei microscópica de Ohm (relacionando campo elétrico e densidade de corrente), resistência ôhmica do fio, potência dissipada e energia elétrica.

Passo 2

Definir densidade de corrente. A densidade de corrente \,j, é a corrente por unidade de área da seção transversal. Matematicamente:
j=\frac{I}{A},
onde \,I é a corrente elétrica e \,A é a área da seção reta. Aqui ambas as quantidades estão fornecidas.

Passo 3

Calcular numericamente a densidade de corrente. Substituindo os valores:
j=\frac{1{,}00}{4{,}32} \\ \mathrm{A/m^{2}}.
Fazendo a divisão:
j \approx 0{,}23148\\ \mathrm{A/m^{2}}.
Expliquei: a ideia é distribuir a corrente pela área; com área grande, a densidade de corrente fica pequena.

Passo 4

Lembra da lei microscópica de Ohm para um condutor homogêneo: o campo elétrico \,E dentro do material está relacionado à densidade de corrente por
E=\rho\,j,
onde \rho é a resistividade do material (unidade \Omega\cdot\mathrm{m}), j é a densidade de corrente (unidade \mathrm{A/m^{2}}) e E fica em \mathrm{V/m}. Esta é a versão local de Ohm: corrente gerada por um campo elétrico no material.

Passo 5

Calcular o campo elétrico médio substituindo \rho e j:
E=\rho\,j=\rho\frac{I}{A}.
Agora numericamente:
E = \frac{1{,}7\times10^{-8}\times 1{,}00}{4{,}32}\\ \mathrm{V/m}.
Fazendo a conta (passo a passo):
1{,}7\times3{,}81\times10^{-8}/4{,}32\\ \text{(não usar 3,81 aqui; manter a forma original)}.ã
Corrigindo a linha anterior: como \,I=1{,}00, simplesmente
E=\frac{1{,}7\times10^{-8}}{4{,}32}\\ \mathrm{V/m}.
Dividindo:
E \approx 3{,}94\times10^{-9}\\ \mathrm{V/m}.
Comentário amistoso: é um campo muito pequeno porque a área dada é enorme para só 1\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Para a energia dissipada precisamos da resistência do fio e do tempo. A resistência ôhmica de um fio homogêneo é dada por:
R=\rho\frac{L}{A},
onde L é o comprimento do fio. Esta fórmula vem direto da definição de resistividade: resistência é resistividade vezes comprimento dividido por área.

Passo 7

Calcular numericamente a resistência:
R=\frac{1{,}7\times10^{-8}\times 3{,}81}{4{,}32}\\ \Omega.
Calculemos em etapas:
1{,}7\times 3{,}81 = 6{,}477\quad\Rightarrow\quad 6{,}477\times10^{-8}.
Dividindo por 4{,}32:
R \approx 1{,}4993\times10^{-8}\\ \Omega.
Observação: resistência extremamente pequena devido à grande área e ao pequeno \rho.

Passo 8

Potência dissipada no fio (efeito Joule) é
P=I^{2}R.
Como I=1{,}00\\ \mathrm{A}, tem-se P=R. Então
P \approx 1{,}4993\times10^{-8}\\ \mathrm{W}.

Passo 9

Energia dissipada durante um intervalo de tempo t é
W=P\,t=I^{2}R\,t.
Aqui t=30\\ \text{min}=30\times60=1800\\ \mathrm{s}. Substituindo:
W \approx 1{,}4993\times10^{-8}\times 1800\\ \mathrm{J}.
Fazendo a multiplicação:
W \approx 2{,}699\times10^{-5}\\ \mathrm{J}.
Arredondando com três algarismos significativos:
W \approx 2{,}70\times10^{-5}\\ \mathrm{J}.

Passo 10

Verificação rápida de unidades e ordem de grandeza:
  • E em \mathrm{V/m} e muito pequeno (coerente com grande A);
  • W em \mathrm{J} e muito pequeno (potência muito baixa durante 30 minutos).

Resposta

E = 3{,}94\times10^{-9}\\ \mathrm{V/m}\n
W = 2{,}70\times10^{-5}\\ \mathrm{J}

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