P. 72 Uma superfície esférica condutora, de raio
, no vácuo, é suposta isolada de outros corpos. Em um ponto
à distância
do centro da superfície, o campo elétrico por ela estabelecido tem intensidade
. Determine o potencial elétrico
e a intensidade do campo elétrico
no centro da esfera. Considere positiva a carga da superfície esférica.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletrostática envolvendo uma esfera condutora. Temos uma esfera com raio
isolada no vácuo. Em um ponto
situado a uma distância
do centro da esfera, o campo elétrico é
. Nosso objetivo é determinar o potencial elétrico
e a intensidade do campo elétrico
no centro da esfera. Para isso, vamos utilizar conceitos de campos e potenciais elétricos em torno de condutores esféricos.
Passo 2
Primeiramente, lembramos que uma esfera condutora isolada tem seu campo elétrico externo equivalente ao de uma carga pontual situada no centro da esfera. Isso significa que podemos tratar a esfera como se toda a sua carga estivesse concentrada no centro para calcular o campo elétrico e o potencial fora dela.
Passo 3
Sabemos que o campo elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
onde:
-
é o campo elétrico, -
é a constante eletrostática, -
é a carga da esfera, -
é a distância do ponto onde o campo é calculado até o centro da esfera.
Passo 4
No ponto
, temos
e
. Vamos usar a fórmula do campo elétrico para encontrar a carga
da esfera:
Passo 5
Resolvendo para
:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Isolando
:
Passo 6
Agora que temos a carga
, podemos calcular o potencial elétrico
no centro da esfera. O potencial devido a uma carga pontual é dado por:
No caso da esfera condutora, o potencial é o mesmo em toda a superfície e no interior dela. Portanto, o potencial no centro será igual ao potencial na superfície, onde
.
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula do potencial:
Calculando:
Passo 8
Quanto à intensidade do campo elétrico no centro da esfera, sabemos que dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Portanto:
Resposta
O potencial elétrico no centro da esfera é
e a intensidade do campo elétrico no centro é
.