P. 72 Uma superfície esférica condutora, de raio R=2 m, no vácuo, é suposta isolada de outros corpos. Em um ponto P à distância d=8 m do centro da superfície, o campo elétrico por ela estabelecido tem intensidade E=8 cdot 10^-2 V / m. Determine o potencial elétrico V0 e a intensidade do campo elétrico E0 no centro da esfera. Considere positiva a carga da superfície esférica.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática envolvendo uma esfera condutora. Temos uma esfera com raio R = 2,m isolada no vácuo. Em um ponto P situado a uma distância d = 8,m do centro da esfera, o campo elétrico é E = 8 times 10^-2,V/m. Nosso objetivo é determinar o potencial elétrico V0 e a intensidade do campo elétrico E0 no centro da esfera. Para isso, vamos utilizar conceitos de campos e potenciais elétricos em torno de condutores esféricos.

Passo 2

Primeiramente, lembramos que uma esfera condutora isolada tem seu campo elétrico externo equivalente ao de uma carga pontual situada no centro da esfera. Isso significa que podemos tratar a esfera como se toda a sua carga estivesse concentrada no centro para calcular o campo elétrico e o potencial fora dela.

Passo 3

Sabemos que o campo elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
E = kQr^2
onde:
  • E é o campo elétrico,
  • k = 9 times 10^9,N·m²/C²²² é a constante eletrostática,
  • Q é a carga da esfera,
  • r é a distância do ponto onde o campo é calculado até o centro da esfera.

Passo 4

No ponto P, temos E = 8 times 10^-2,V/m e r = 8,m. Vamos usar a fórmula do campo elétrico para encontrar a carga Q da esfera:
8 times 10^-2 = 9 times 10^9 times Q(8)^2

Passo 5

Resolvendo para Q:
8 times 10^-2 = 9 times 10^9 times Q64
Multiplicamos ambos os lados por 64:
64 times 8 times 10^-2 = 9 times 10^9 times Q
Calculando o lado esquerdo:
64 times 8 times 10^-2 = 5.12
Então:
5.12 = 9 times 10^9 times Q
Isolando Q:
Q = 5.129 times 10^9 approx 5.69 times 10^-10,C

Passo 6

Agora que temos a carga Q, podemos calcular o potencial elétrico V0 no centro da esfera. O potencial devido a uma carga pontual é dado por:
V = kQr
No caso da esfera condutora, o potencial é o mesmo em toda a superfície e no interior dela. Portanto, o potencial no centro será igual ao potencial na superfície, onde r = R = 2,m.

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula do potencial:
V0 = 9 times 10^9 times 5.69 times 10^-102
Calculando:
V0 = 9 times 10^9 times 5.69 times 10^-102 = 5.121 times 10^02 = 2.56,V

Passo 8

Quanto à intensidade do campo elétrico no centro da esfera, sabemos que dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Portanto:
E0 = 0,V/m

Resposta

O potencial elétrico no centro da esfera é V0 = 2.56,V e a intensidade do campo elétrico no centro é E0 = 0,V/m.

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