-4.73 Um capacitor de placas paralelas com ar em seu interior é ligado a uma bateria de 6 V . Após carregamento, a energia armazenada no capacitor é de 72 nJ . Sem desligar o capacitor da bateria, um dielétrico é inserido no espaço e uma energia adicional de 317 nJ flui da bateria para o capacitor.
a) Qual é a constante dielétrica do dielétrico usado?
b) Se cada placa tem uma área de
, qual é a carga da placa positiva do capacitor após o dielétrico ter sido inserido?
c) Qual era a intensidade do campo elétrico entre as placas antes da introdução do dielétrico?
d) Qual é a intensidade do campo elétrico entre as placas após a introdução do dielétrico?
a) Qual é a constante dielétrica do dielétrico usado?
b) Se cada placa tem uma área de
c) Qual era a intensidade do campo elétrico entre as placas antes da introdução do dielétrico?
d) Qual é a intensidade do campo elétrico entre as placas após a introdução do dielétrico?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- A bateria tem tensão
. - Energia armazenada inicialmente (com ar, antes do dielétrico):
. - Ao inserir o dielétrico sem desligar a bateria, a bateria fornece energia adicional de
. - Área de cada placa:
. (Lembrar de converter para SI ao usar fórmulas.)
- A bateria tem tensão
- O que o enunciado pergunta:
(a) A constante dielétricado dielétrico usado.
(b) A carga da placa positiva do capacitor após o dielétrico ter sido inserido.
(c) A intensidade do campo elétrico entre as placas antes da introdução do dielétrico.
(d) A intensidade do campo elétrico entre as placas depois da introdução do dielétrico.
Observações importantes (usarão na resolução): o capacitor permanece ligado à bateria, portanto
permanece constante durante todo o processo. Sempre que eu usar alguma informação dada (como
ou
) direi explicitamente.
Passo 2
Relação entre energia, capacitância e tensão.
- Fórmula que relaciona energia armazenada em um capacitor, capacitância e tensão:
onde
-
é a energia armazenada (J), -
é a capacitância (F), -
é a diferença de potencial (V).
Como a bateria mantém
constante, a energia é diretamente proporcional à capacitância:
. Assim, se
é a capacitância antes e
após inserir o dielétrico, então
A constante dielétrica
é definida por
quando o dielétrico preenche totalmente o espaço entre as placas. Portanto, com bateria conectada,
Passo 3
Calcular
e
.
- A energia adicional que veio da bateria é
. Então a energia final do capacitor é
Em números:
- Agora
:
Fazendo a divisão:
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
Passo 4
Calcular a capacitância inicial
(útil para as próximas partes).
- Usando
, isolamos :
Substituindo os valores:
Portanto,
Passo 5
Calcular a capacitância final
e a carga final
na placa positiva.
- Como
,
Fazendo a multiplicação:
(Em notação mais simples:
.)
- A carga na placa positiva é dada por
. Para o estado final:
Substituindo:
Arredondando:
Passo 6
Calcular a carga inicial
e a densidade de carga superficial inicial
(necessárias para o campo).
- Carga inicial:
- Converter a área dada para SI:
(Expliquei a conversão:
.)
- Densidade de carga superficial na placa positiva antes do dielétrico:
Passo 7
Calcular o campo elétrico entre as placas antes do dielétrico,
.
- Para um capacitor de placas paralelas com ar (aproximado como vácuo) o campo elétrico entre as placas (desprezando bordas) é relacionado à densidade de carga superficial por:
onde
é a permissividade do vácuo,
.
- Aplicando para o estado inicial:
Fazendo a divisão:
(Valor aproximado:
.)
Observação física curta e intuitiva: também poderíamos usar
se soubéssemos a separação
entre as placas; aqui não foi fornecido
, então usamos
, que usa apenas as quantidades que temos.
Passo 8
Calcular o campo elétrico entre as placas após o dielétrico,
, e interpretar.
- Depois de inserir o dielétrico enquanto a bateria permanece conectada, a tensão
entre as placas NÃO muda (a bateria mantém ). O campo entre as placas é (se é a separação), então se não mudou e não mudou, o campo também não muda:
- Alternativa pela densidade/permitividade: após inserir o dielétrico completamente, a permissividade do meio entre placas é
e a nova densidade superficial é . Então
Ou seja, matematicamente confirma que
quando a bateria mantém
constante.
- Logo,
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)