-4.73 Um capacitor de placas paralelas com ar em seu interior é ligado a uma bateria de 6 V . Após carregamento, a energia armazenada no capacitor é de 72 nJ . Sem desligar o capacitor da bateria, um dielétrico é inserido no espaço e uma energia adicional de 317 nJ flui da bateria para o capacitor.
a) Qual é a constante dielétrica do dielétrico usado?
b) Se cada placa tem uma área de 50 \mathrm{~cm}^{2}, qual é a carga da placa positiva do capacitor após o dielétrico ter sido inserido?
c) Qual era a intensidade do campo elétrico entre as placas antes da introdução do dielétrico?
d) Qual é a intensidade do campo elétrico entre as placas após a introdução do dielétrico?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A bateria tem tensão \,V=6\\ \mathrm{V}.
    • Energia armazenada inicialmente (com ar, antes do dielétrico): \,U_1=72\\ \mathrm{nJ}=\;72\times10^{-9}\\ \mathrm{J}.
    • Ao inserir o dielétrico sem desligar a bateria, a bateria fornece energia adicional de \,317\\ \mathrm{nJ}=\;317\times10^{-9}\\ \mathrm{J}.
    • Área de cada placa: \,A=50\\ \mathrm{cm}^2. (Lembrar de converter para SI ao usar fórmulas.)
  • O que o enunciado pergunta:
    (a) A constante dielétrica \kappa do dielétrico usado.
    (b) A carga da placa positiva do capacitor após o dielétrico ter sido inserido.
    (c) A intensidade do campo elétrico entre as placas antes da introdução do dielétrico.
    (d) A intensidade do campo elétrico entre as placas depois da introdução do dielétrico.
Observações importantes (usarão na resolução): o capacitor permanece ligado à bateria, portanto \,V permanece constante durante todo o processo. Sempre que eu usar alguma informação dada (como U_1 ou A) direi explicitamente.

Passo 2

Relação entre energia, capacitância e tensão.
  • Fórmula que relaciona energia armazenada em um capacitor, capacitância e tensão:
U=\tfrac{1}{2} C V^{2},
onde
  • U é a energia armazenada (J),
  • C é a capacitância (F),
  • V é a diferença de potencial (V).
Como a bateria mantém \,V constante, a energia é diretamente proporcional à capacitância: \,U\propto C. Assim, se C_1 é a capacitância antes e C_2 após inserir o dielétrico, então
\frac{U_2}{U_1}=\frac{C_2}{C_1}.
A constante dielétrica \kappa é definida por
\kappa=\frac{C_2}{C_1},
quando o dielétrico preenche totalmente o espaço entre as placas. Portanto, com bateria conectada,
\kappa=\frac{U_2}{U_1}.

Passo 3

Calcular U_2 e \kappa.
  • A energia adicional que veio da bateria é \,317\times10^{-9}\\ \mathrm{J}. Então a energia final do capacitor é
U_2=U_1+317\times10^{-9}\\ \mathrm{J}.
Em números:
U_2 = 72\times10^{-9} + 317\times10^{-9} = 389\times10^{-9}\\ \mathrm{J}.
  • Agora \kappa:
\kappa=\frac{U_2}{U_1}=\frac{389\times10^{-9}}{72\times10^{-9}}=\frac{389}{72}.
Fazendo a divisão:
\kappa \approx 5{,}40278\ldots
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
\kappa \approx 5{,}40.

Passo 4

Calcular a capacitância inicial C_1 (útil para as próximas partes).
  • Usando \,U_1=\tfrac{1}{2}C_1V^{2}, isolamos C_1:
C_1=\frac{2U_1}{V^{2}}.
Substituindo os valores:
C_1=\frac{2\cdot 72\times10^{-9}}{6^{2}}=\frac{144\times10^{-9}}{36}=4{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{F}.
Portanto,
C_1 = 4{,}0\\ \mathrm{nF}.

Passo 5

Calcular a capacitância final C_2 e a carga final Q_2 na placa positiva.
  • Como \,C_2=\kappa C_1,
C_2 = \kappa C_1 \approx 5{,}40278\cdot 4{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{F}.
Fazendo a multiplicação:
C_2 \approx 21{,}611\times10^{-9}\\ \mathrm{F}=2{,}1611\times10^{-8}\\ \mathrm{F}.
(Em notação mais simples: C_2\approx 21{,}61\\ \mathrm{nF}.)
  • A carga na placa positiva é dada por Q=C V. Para o estado final:
Q_2=C_2 V.
Substituindo:
Q_2 \approx 21{,}611\times10^{-9}\cdot 6 = 129{,}666\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
Arredondando:
Q_2 \approx 1{,}30\times10^{-7}\\ \mathrm{C} = 130\\ \mathrm{nC}.

Passo 6

Calcular a carga inicial Q_1 e a densidade de carga superficial inicial \sigma_1 (necessárias para o campo).
  • Carga inicial:
Q_1 = C_1 V = 4{,}0\times10^{-9}\cdot 6 = 24\times10^{-9}\\ \mathrm{C} = 24\\ \mathrm{nC}.
  • Converter a área dada para SI:
A = 50\\ \mathrm{cm}^2 = 50\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
(Expliquei a conversão: 1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.)
  • Densidade de carga superficial na placa positiva antes do dielétrico:
\sigma_1=\frac{Q_1}{A}=\frac{24\times10^{-9}}{5{,}0\times10^{-3}}=4{,}8\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}^2.

Passo 7

Calcular o campo elétrico entre as placas antes do dielétrico, E_1.
  • Para um capacitor de placas paralelas com ar (aproximado como vácuo) o campo elétrico entre as placas (desprezando bordas) é relacionado à densidade de carga superficial por:
E=\frac{\sigma}{\epsilon_0},
onde \epsilon_0 é a permissividade do vácuo, \epsilon_0 \approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Aplicando para o estado inicial:
E_1=\frac{\sigma_1}{\epsilon_0}=\frac{4{,}8\times10^{-6}}{8{,}854\times10^{-12}}.
Fazendo a divisão:
E_1 \approx 5{,}42\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}.
(Valor aproximado: 542\\ \mathrm{kV/m}.)
Observação física curta e intuitiva: também poderíamos usar E=V/d se soubéssemos a separação d entre as placas; aqui não foi fornecido d, então usamos \sigma/\epsilon_0, que usa apenas as quantidades que temos.

Passo 8

Calcular o campo elétrico entre as placas após o dielétrico, E_2, e interpretar.
  • Depois de inserir o dielétrico enquanto a bateria permanece conectada, a tensão \,V entre as placas NÃO muda (a bateria mantém V=6\\ \mathrm{V}). O campo entre as placas é E=V/d (se d é a separação), então se d não mudou e V não mudou, o campo também não muda:
E_2 = E_1.
  • Alternativa pela densidade/permitividade: após inserir o dielétrico completamente, a permissividade do meio entre placas é \epsilon=\kappa\epsilon_0 e a nova densidade superficial é \sigma_2=Q_2/A. Então
E_2=\frac{\sigma_2}{\epsilon}=\frac{Q_2/A}{\kappa\epsilon_0}=\frac{\kappa Q_1/A}{\kappa\epsilon_0}=\frac{Q_1/A}{\epsilon_0}=E_1.
Ou seja, matematicamente confirma que E_2=E_1 quando a bateria mantém V constante.
  • Logo,
E_2 \approx 5{,}42\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

(a) \kappa \approx 5{,}40
(b) Q_2 \approx 1{,}30\times10^{-7}\\ \mathrm{C} \;=\;130\\ \mathrm{nC}
(c) E_1 \approx 5{,}42\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}
(d) E_2 \approx 5{,}42\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}

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