Q27. Dois aviões A e B voam em altitudes constantes; o avião A voa para leste com velocidade constante de 960 \mathrm{km} / \mathrm{h}, enquanto B voa para sudoeste com velocidade constante de 640 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Determine a mudança na posição de B em relação a A que ocorre num intervalo de tempo de 1,5 minutos. \mathbf{R} : 37 km .

Passo 1

O enunciado pede a mudança de posição de B em relação a A durante um intervalo de 1{,}5 minutos. Informação fornecida:
  • Velocidade do avião A: 960\\ \mathrm{km/h} para leste.
  • Velocidade do avião B: 640\\ \mathrm{km/h} para sudoeste.
  • Intervalo de tempo: 1{,}5 minutos.
Pergunta explícita: qual é a mudança de posição de B relativa a A (isto é, o deslocamento relativo) em 1{,}5 minutos? O resultado pedido é um comprimento (distância), já que a resposta fornecida é 37\\ \mathrm{km}.

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas e representar velocidades por vetores (isso facilita muito).
  • Tomar x positivo para leste e y positivo para norte.
  • Então a velocidade de A como vetor é
\vec v_A = (960,\\\ 0)\\ \mathrm{km/h},
pois A vai só para leste.
  • Direção sudoeste significa exatamente na bissetriz entre sul e oeste, ou seja, componentes iguais para oeste e para sul. O versor nessa direção é (-1/\sqrt{2},\\\ -1/\sqrt{2}).
  • Portanto a velocidade de B é
\vec v_B = 640\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \left(-\frac{640}{\sqrt{2}},\\\ -\frac{640}{\sqrt{2}}\right)\\ \mathrm{km/h}.
Explicação curta do porquê: decompor vetores em componentes x,y é padrão — usa-se trigonometria; para 45° (bissetriz) as componentes têm fator 1/\sqrt{2}.

Passo 3

Calcular a velocidade relativa de B em relação a A. Em geral, o vetor velocidade relativa é
\vec v_{B/A}=\vec v_B-\vec v_A.
Substituindo:
\vec v_{B/A}=\left(-\frac{640}{\sqrt{2}}-960,\\\ -\frac{640}{\sqrt{2}}-0\right).
Simplificando \frac{640}{\sqrt{2}} = 320\sqrt{2}, fica
\vec v_{B/A}=(-320\sqrt{2}-960,\\\ -320\sqrt{2})\\ \mathrm{km/h}.
Observação didática: subtrai-se vetores componente a componente; isso dá a velocidade de B vista por alguém que segue A.

Passo 4

Converter o tempo para horas e obter o deslocamento relativo: tempo dado 1{,}5 minutos = \dfrac{1{,}5}{60}=\dfrac{1}{40}=0{,}025\\ \mathrm{h}. O deslocamento relativo é
\Delta \vec r_{B/A} = \vec v_{B/A}\cdot t.
Multiplicando cada componente por t=0{,}025=1/40:
\Delta \vec r_{B/A}=\left(-\frac{320\sqrt{2}+960}{40},\\\ -\frac{320\sqrt{2}}{40}\right) =(-(8\sqrt{2}+24),\\\ -8\sqrt{2})\\ \mathrm{km}.
Para ter ideia numérica, calcule as componentes:
8\sqrt{2}\approx 11{,}314,\quad \Delta x \approx -(11{,}314+24) = -35{,}314\\ \mathrm{km},
\Delta y \approx -11{,}314\\ \mathrm{km}.
Interpretação: em relação a A, B deslocou-se cerca de 35{,}3\\ \mathrm{km} para oeste (com sinal negativo em x) e 11{,}3\\ \mathrm{km} para sul.

Passo 5

Calcular a magnitude do deslocamento relativo (a mudança de posição pedida). Usar o teorema de Pitágoras para o módulo do vetor:
\left|\Delta \vec r_{B/A}\right|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}.
Usando as expressões exatas:
\left|\Delta \vec r_{B/A}\right| =\sqrt{(8\sqrt{2}+24)^2+(8\sqrt{2})^2} =\sqrt{832+384\sqrt{2}}.
Agora avaliação numérica:
832+384\sqrt{2}\approx 1375{,}06,
\sqrt{1375{,}06}\approx 37{,}08\\ \mathrm{km}.
Arredondando conforme a resposta fornecida, obtemos 37\\ \mathrm{km}.

Passo 6

Resumo do método (o que fazer numa prova, passo a passo rápido):
  1. Escolher e desenhar eixos (leste = +x, norte = +y).
  2. Decompor cada velocidade em componentes x,y.
  3. Calcular velocidade relativa \vec v_{B/A}=\vec v_B-\vec v_A.
  4. Converter o tempo para as mesmas unidades (aqui horas).
  5. Calcular deslocamento relativo \Delta \vec r=\vec v_{B/A}t.
  6. Se quiser a distância, tirar o módulo com \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}.
Força aí — essa técnica resolve qualquer problema de movimento relativo no plano.

Resposta

37 km

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