Questão 5 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Uma partícula de massa m=2,00 \mathrm{~kg} se movimenta ao longo do eixo x sujeita a uma única força variável F(x)=F_{0}-\frac{F_{0}}{x_{1}} x mostrada na Figura 3, onde F_{0}=1,00 \mathrm{~N} e x_{1}=4,00 \mathrm{~m}. Não há atrito. Sabendo que a partícula parte de x=0 com velocidade inicial v_{0}=3,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual é sua velocidade v_{1} quando passa pela posição x_{1} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Força variável dada: F(x)=F_{0}-\dfrac{F_{0}}{x_{1}}\,x.
  • Constantes fornecidas: F_{0}=1{,}00\\ \mathrm{N}, x_{1}=4{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Massa da partícula: m=2{,}00\\ \mathrm{kg}.
  • Posição inicial: parte de x=0 com velocidade v_{0}=3{,}00\\ \mathrm{m/s}.
  • Pedido: determinar a velocidade v_{1} da partícula quando ela passa por x=x_{1}.

Passo 2

Escolha do método e explicação do conceito que vou usar.
  • Vou usar o Teorema Trabalho-Energia: a variação da energia cinética entre dois pontos é igual ao trabalho realizado pela força resultante no deslocamento entre esses pontos. Em símbolos:
\Delta K = K_{1}-K_{0}=W_{0\to x_{1}}.
  • Aqui K=\dfrac{1}{2}mv^{2} é a energia cinética, onde m é a massa e v a velocidade.
  • Como a força depende de x, o trabalho entre x=0 e x=x_{1} é a integral da força em relação a x:
W_{0\to x_{1}}=\int_{0}^{x_{1}} F(x)\,dx.
  • Justificativa prática: esse método evita ter que integrar aceleração para obter velocidade diretamente; basta calcular uma integral simples da força e aplicar a relação energia-cinética — normalmente mais rápido e menos propenso a erro numa prova.

Passo 3

Calcular o trabalho realizado pela força entre x=0 e x=x_{1}.
Escrever a integral com a função dada:
W_{0\to x_{1}}=\int_{0}^{x_{1}}\left(F_{0}-\frac{F_{0}}{x_{1}}x\right)\,dx.
Separando termos e integrando termo a termo:
\int_{0}^{x_{1}} F_{0}\,dx = F_{0}x\Big|_{0}^{x_{1}}=F_{0}x_{1},
\int_{0}^{x_{1}}\frac{F_{0}}{x_{1}}x\,dx=\frac{F_{0}}{x_{1}}\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{x_{1}}=\frac{F_{0}}{x_{1}}\cdot\frac{x_{1}^{2}}{2}=\frac{F_{0}x_{1}}{2}.
Subtraindo os dois resultados:
W_{0\to x_{1}}=F_{0}x_{1}-\frac{F_{0}x_{1}}{2}=\frac{F_{0}x_{1}}{2}.
Substituindo F_{0}=1{,}00\\ \mathrm{N} e x_{1}=4{,}00\\ \mathrm{m}:
W_{0\to x_{1}}=\frac{1{,}00\cdot4{,}00}{2}=2{,}00\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular a energia cinética inicial K_{0}.
Usando K=\dfrac{1}{2}mv^{2}:
K_{0}=\frac{1}{2}m v_{0}^{2}=\frac{1}{2}\cdot2{,}00\cdot(3{,}00)^{2}.
Calcular passo a passo: (3{,}00)^{2}=9{,}00, então
K_{0}=\frac{1}{2}\cdot2{,}00\cdot9{,}00=1{,}00\cdot9{,}00=9{,}00\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Aplicar o Teorema Trabalho-Energia para obter v_{1}.
Escrevendo K_{1}=K_{0}+W_{0\to x_{1}} e usando K_{1}=\dfrac{1}{2}m v_{1}^{2}:
\frac{1}{2}m v_{1}^{2}=K_{0}+W_{0\to x_{1}}.
Substituindo os valores numéricos de K_{0} e W_{0\to x_{1}}:
\frac{1}{2}\cdot2{,}00\cdot v_{1}^{2}=9{,}00+2{,}00=11{,}00.
Simplificando o lado esquerdo: \dfrac{1}{2}\cdot2{,}00=1{,}00, portanto
v_{1}^{2}=11{,}00\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})}.

Passo 6

Interpretação e preparação para a resposta final.
  • A unidade de v_{1}^{2} está consistente: \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Para obter v_{1} basta extrair a raiz quadrada de v_{1}^{2}:
v_{1}=\sqrt{11{,}00}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v_{1}=\sqrt{11}\\ \mathrm{m/s}\approx3{,}32\\ \mathrm{m/s}

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