9-73 (8)A simple Brayton cycle using air as the working fluid has a pressure ratio of 8 . The minimum and maximum temperatures in the cycle are 310 and 1160 K . Assuming an isentropic efficiency of 75 percent for the compressor and 82 percent for the turbine, determine (a) the air temperature at the turbine exit, (b) the net work output, and (c) the thermal efficiency.

Passo 1

O enunciado dá um ciclo Brayton simples com ar, razão de pressão r_p=8, temperatura mínima T_1=310\\ \mathrm{K} e máxima T_3=1160\\ \mathrm{K}. As eficiências isentrópicas são: compressor \eta_c=0{,}75 e turbina \eta_t=0{,}82.
O que pedem:
  • (a) a temperatura do ar na saída da turbina (estado 4, saída após expansão real) — T_4 (temperatura real, com eficiência da turbina dada);
  • (b) o trabalho líquido por unidade de massa (energia específica) — w_{\text{líquido}} = w_t - w_cí;
  • (c) a eficiência térmica do ciclo — \eta_{\text{th}} = \dfrac{w_{\text{líquido}}}{q_{\text{in}}}í.
Informações importantes que vamos usar (tudo fornecido ou padrão para ar):
  • razão de pressão r_p=8;
  • \gamma = 1{,}4 (ar ideal);
  • c_p = 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (isto é, 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)});
  • relações isentrópicas para processos compressão/expansão de gás perfeito: \displaystyle T_{2s}=T_1\,r_p^{(\gamma-1)/\gamma} e \displaystyle T_{4s}=T_3\,r_p^{-(\gamma-1)/\gamma};
  • definições de eficiências isentrópicas:
    \displaystyle \eta_c=\frac{T_{2s}-T_1}{T_{2}-T_1} (compressor) e \displaystyle \eta_t=\frac{T_3-T_{4}}{T_3-T_{4s}} (turbina),
    onde subíndice s indica processo isentrópico ideal e sem sufixo indica processo real.

Passo 2

Explico as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
  • A relação isentrópica entre temperaturas em compressão/expansão (para gás ideal com \gamma constante) vem de T_2/T_1=(p_2/p_1)^{(\gamma-1)/\gamma}. Aqui p_2/p_1=r_p. Logo usamos
T_{2s}=T_1\,r_p^{(\gamma-1)/\gamma}.
  • A eficiência isentrópica do compressor \eta_c compara o aumento de temperatura no processo isentrópico ideal com o aumento real:
\eta_c=\frac{T_{2s}-T_1}{T_2-T_1}\quad\Rightarrow\quad T_2 = T_1 + \frac{T_{2s}-T_1}{\eta_c}.
  • De forma análoga, a eficiência isentrópica da turbina \eta_t compara a queda de temperatura real com a isentrópica:
\eta_t=\frac{T_3-T_{4}}{T_3-T_{4s}}\quad\Rightarrow\quad T_{4} = T_3 - \eta_t\,(T_3-T_{4s}).
  • Trabalhos específicos (por kg) e calor específico em processo a pressão constante:
    • trabalho do compressor (consumido): w_c = c_p\,(T_2 - T_1);
    • trabalho da turbina (produzido): w_t = c_p\,(T_3 - T_4);
    • calor adicionado (no aquecedor): q_{in}=c_p\,(T_3 - T_2).
  • Eficiência térmica do ciclo: \displaystyle \eta_{\text{th}}=\frac{w_t-w_c}{q_{in}}.

Passo 3

Calcular o expoente isentrópico e a temperatura isentrópica de saída do compressor T_{2s}.
O expoente é
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{1{,}4-1}{1{,}4}=\frac{0{,}4}{1{,}4}=0{,}285714\ldots
Aplico a fórmula
T_{2s}=T_1\,r_p^{(\gamma-1)/\gamma}=310\cdot 8^{0{,}285714\ldots}.
Calcule 8^{0{,}285714}. Observando que 8=2^3 e 8^{2/7}=2^{6/7}, numericamente obtém-se aproximadamente 1{,}811. Assim
T_{2s}\approx 310\cdot 1{,}811 \approx 561{,}47\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a temperatura real de saída do compressor T_2 usando \eta_c.
Usamos
T_2 = T_1 + \frac{T_{2s}-T_1}{\eta_c} =310 + \frac{561{,}47-310}{0{,}75}.
Compute a diferença 561{,}47-310=251{,}47. Dividindo por 0{,}75 335{,}29. Portanto
T_2 \approx 310 + 335{,}29 = 645{,}29\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular o trabalho do compressor w_c.
Usamos c_p=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Assim
w_c = c_p\,(T_2-T_1)=1{,}005\cdot(645{,}29-310)\\ \mathrm{kJ/kg}.
A diferença é 335{,}29\\ \mathrm{K}. Então
w_c \approx 1{,}005\cdot 335{,}29 \approx 336{,}52\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Calcular a temperatura isentrópica de saída da turbina T_{4s}.
Relação isentrópica para expansão (inversa da compressão):
T_{4s}=T_3\,r_p^{-(\gamma-1)/\gamma}=1160\cdot 8^{-0{,}285714}.
Como 8^{-0{,}285714}=1/8^{0{,}285714}\approx 1/1{,}811\approx 0{,}552, numericamente
T_{4s}\approx \frac{1160}{1{,}811}\approx 640{,}54\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Calcular a temperatura real de saída da turbina T_4 (isto responde parte (a)) usando \eta_t.
Usamos
T_{4} = T_3 - \eta_t\,(T_3-T_{4s}) =1160 - 0{,}82\,(1160-640{,}54).
A diferença 1160-640{,}54=519{,}46. Multiplicando por 0{,}82 425{,}96. Portanto
T_4 \approx 1160 - 425{,}96 = 734{,}04\\ \mathrm{K}.
Então a resposta da parte (a) é T_4\approx 734{,}0\\ \mathrm{K} (estou arredondando para 1 decimal).

Passo 8

Calcular o trabalho da turbina w_t.
w_t = c_p\,(T_3-T_4)=1{,}005\cdot(1160-734{,}04)\\ \mathrm{kJ/kg}.
A diferença é 425{,}96\\ \mathrm{K}. Logo
w_t \approx 1{,}005\cdot 425{,}96 \approx 428{,}09\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 9

Calcular o trabalho líquido do ciclo (parte (b)) e o calor adicionado e a eficiência térmica (parte (c)).
Trabalho líquido:
w_{\text{líquido}}=w_t-w_c\approx 428{,}09 - 336{,}52 = 91{,}57\\ \mathrm{kJ/kg}.í
Calor adiciondo:
q_{in}=c_p\,(T_3-T_2)=1{,}005\cdot(1160-645{,}29).
A diferença é 514{,}71. Então
q_{in}\approx 1{,}005\cdot 514{,}71 = 517{,}28\\ \mathrm{kJ/kg}.
Eficiência térmica:
\eta_{\text{th}}=\frac{w_{\text{líquido}}}{q_{in}} \approx\frac{91{,}57}{517{,}28}\approx 0{,}1771 = 17{,}71\%.í

Resposta

T_4 \approx 734{,}0\\ \mathrm{K}
w_{\text{líquido}} \approx 91{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}í
\eta_{\text{th}} \approx 17{,}7\%

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