- (1 ponto) Responda as seguintes perguntas referentes aos agrupamentos cúbicos simples e ciliticos de corpo centrado,
Justifique por que em uma rede cristalina cúbica de corpo centrado
do espaço corresponde a espaços vazios.
Justifique por que em uma rede cristalina cúbica de corpo centrado
Passo 1
O enunciado pede que eu responda questões sobre os agrupamentos cúbicos simples e cúbicos de corpo centrado, e especificamente que eu justifique por que, numa rede cúbica de corpo centrado,
do espaço corresponde a espaços vazios.
Informações relevantes dadas ou implícitas (vou listá‑las explicitamente para ninguém se perder):
Informações relevantes dadas ou implícitas (vou listá‑las explicitamente para ninguém se perder):
- Em ambos os casos os átomos são aproximados por esferas idênticas de raio
. - Devemos trabalhar com a célula unitária cúbica, de parâmetro de rede
. - Para o cúbico simples (SC) os átomos estão apenas nos 8 vértices.
- Para o cúbico de corpo centrado (BCC) os átomos estão nos 8 vértices e em um ponto central (no centro do cubo).
- O objetivo concreto: calcular a fração do volume da célula ocupado pelas esferas (packing fraction) e a fração vazia; justificar o valor aproximado de
de vazio no BCC.
(Pronto — agora que sabemos exatamente o que é pedido e quais dados usar, vou mostrar passo a passo as contas e a teoria necessária.)
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho):
- Definição: fração de empacotamento (packing fraction, APF) é a razão entre o volume total ocupado pelos átomos na célula unitária e o volume da célula unitária. Em símbolos,
onde
é o número de átomos efetivos por célula,
é o volume de uma esfera de raio
e
.
- Volume de uma esfera de raio
:
- Fração vazia (espaço não ocupado) é simplesmente
Vou explicar como obter
e a relação entre
e
(essencial) para cada estrutura.
Passo 3
Cálculo para o cúbico simples (SC) — passo a passo didático:
- Número de átomos por célula: existem 8 cantos, cada canto pertence a 8 células (compartilha‑se), então cada canto contribui com
. Logo
- Relação entre
e : nos cúbicos simples as esferas dos átomos em cantos tocam ao longo da aresta do cubo. Isso significa que a aresta contém dois raios (um de cada átomo que se tocam), logo
- Agora a APF:
- Valor numérico (usando
):
- Fração vazia:
Comentário prático para prova: lembrar que em SC
e
facilita as contas — decorre direto da geometria das arestas.
Passo 4
Cálculo para o cúbico de corpo centrado (BCC) — explicação detalhada e cálculo:
- Número de átomos por célula: 8 cantos com
cada mais 1 átomo inteiro no centro:
- Relação entre
e : as esferas do canto e do centro tocam ao longo da diagonal do corpo do cubo. Considere o canto em e o centro em . A distância entre esses centros é
Como essas duas esferas se tocam, essa distância é igual a
. Portanto
(Dica de prova: reconhecer a diagonal do corpo e usar coordenadas é a maneira mais direta de ver por que aparece
.)
3) Volume da célula unitária:
3) Volume da célula unitária:
- Volume total ocupado pelos átomos na célula:
- APF do BCC:
Agora simplifico cuidadosamente a expressão: o denominador é
Substituindo,
- Valor numérico (usar
, ):
- Fração vazia:
Interpretação: isso mostra matematicamente porque cerca de
do volume está vazio numa rede BCC — as esferas não preenchem todo o espaço; a geometria do BCC leva a essa fração ocupada
e, consequentemente, ao vazio de
.
Passo 5
Resumo intuitivo e dicas para prova (pra te acalmar):
- Regra prática: conte
(átomos efetivos por célula) e identifique como os átomos se tocam (aresta → ; diagonal do corpo → envolvendo ). - Fórmula padrão para APF:
. Substitui em termos de e simplifica. - Resultado rápido a decorar (útil na prova):
- SC:
→ vazio . - BCC:
→ vazio (aproximadamente ).
Força aí — com esse passo a passo dá pra reproduzir a conta na prova sem estresse.
- SC:
Resposta
(SC) Fração ocupada
. Espaços vazios
.
(BCC) Fração ocupada . Espaços vazios
.
(BCC) Fração ocupada