• (1 ponto) Responda as seguintes perguntas referentes aos agrupamentos cúbicos simples e ciliticos de corpo centrado,
    Justifique por que em uma rede cristalina cúbica de corpo centrado 32 \% do espaço corresponde a espaços vazios.

Passo 1

O enunciado pede que eu responda questões sobre os agrupamentos cúbicos simples e cúbicos de corpo centrado, e especificamente que eu justifique por que, numa rede cúbica de corpo centrado, 32\% do espaço corresponde a espaços vazios.
Informações relevantes dadas ou implícitas (vou listá‑las explicitamente para ninguém se perder):
  • Em ambos os casos os átomos são aproximados por esferas idênticas de raio r.
  • Devemos trabalhar com a célula unitária cúbica, de parâmetro de rede a.
  • Para o cúbico simples (SC) os átomos estão apenas nos 8 vértices.
  • Para o cúbico de corpo centrado (BCC) os átomos estão nos 8 vértices e em um ponto central (no centro do cubo).
  • O objetivo concreto: calcular a fração do volume da célula ocupado pelas esferas (packing fraction) e a fração vazia; justificar o valor aproximado de 32\% de vazio no BCC.
    (Pronto — agora que sabemos exatamente o que é pedido e quais dados usar, vou mostrar passo a passo as contas e a teoria necessária.)

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Definição: fração de empacotamento (packing fraction, APF) é a razão entre o volume total ocupado pelos átomos na célula unitária e o volume da célula unitária. Em símbolos,
\text{APF}=\frac{N\cdot V_{\text{átomo}}}{V_{\text{célula}}},áé
onde N é o número de átomos efetivos por célula, V_{\text{átomo}}á é o volume de uma esfera de raio r e V_{\text{célula}}=a^{3}é.
  • Volume de uma esfera de raio r:
V_{\text{átomo}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}.á
  • Fração vazia (espaço não ocupado) é simplesmente
\text{vazio}=1-\text{APF}.
Vou explicar como obter N e a relação entre a e r (essencial) para cada estrutura.

Passo 3

Cálculo para o cúbico simples (SC) — passo a passo didático:
  1. Número de átomos por célula: existem 8 cantos, cada canto pertence a 8 células (compartilha‑se), então cada canto contribui com 1/8. Logo
N_{\text{SC}}=8\cdot\frac{1}{8}=1.
  1. Relação entre a e r: nos cúbicos simples as esferas dos átomos em cantos tocam ao longo da aresta do cubo. Isso significa que a aresta contém dois raios (um de cada átomo que se tocam), logo
a=2r.
  1. Agora a APF:
\text{APF}_{\text{SC}}=\frac{N_{\text{SC}}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}}{a^{3}} =\frac{1\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}}{(2r)^{3}} =\frac{\frac{4}{3}\pi r^{3}}{8r^{3}} =\frac{\pi}{6}.
  1. Valor numérico (usando \pi\approx3{,}1416):
\text{APF}_{\text{SC}}=\frac{\pi}{6}\approx0{,}5236\quad(\text{ou }52{,}36\%).
  1. Fração vazia:
\text{vazio}_{\text{SC}}=1-\frac{\pi}{6}\approx0{,}4764\quad(\text{ou }47{,}64\%).
Comentário prático para prova: lembrar que em SC a=2r e N=1 facilita as contas — decorre direto da geometria das arestas.

Passo 4

Cálculo para o cúbico de corpo centrado (BCC) — explicação detalhada e cálculo:
  1. Número de átomos por célula: 8 cantos com 1/8 cada mais 1 átomo inteiro no centro:
N_{\text{BCC}}=8\cdot\frac{1}{8}+1=1+1=2.
  1. Relação entre a e r: as esferas do canto e do centro tocam ao longo da diagonal do corpo do cubo. Considere o canto em (0,0,0) e o centro em (a/2,a/2,a/2). A distância entre esses centros é
d=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}} =\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Como essas duas esferas se tocam, essa distância é igual a 2r. Portanto
\frac{a\sqrt{3}}{2}=2r \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4r}{\sqrt{3}}.
(Dica de prova: reconhecer a diagonal do corpo e usar coordenadas é a maneira mais direta de ver por que aparece \sqrt{3}.)
3) Volume da célula unitária:
V_{\text{célula}}=a^{3}=\left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3}.é
  1. Volume total ocupado pelos átomos na célula:
V_{\text{átomos}}=N_{\text{BCC}}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=2\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{8}{3}\pi r^{3}.á
  1. APF do BCC:
\text{APF}_{\text{BCC}}=\frac{\frac{8}{3}\pi r^{3}}{\left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3}}.
Agora simplifico cuidadosamente a expressão: o denominador é
\left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\frac{64 r^{3}}{3\sqrt{3}}.
Substituindo,
\text{APF}_{\text{BCC}}=\frac{\frac{8}{3}\pi r^{3}}{\frac{64 r^{3}}{3\sqrt{3}}} =\frac{8\pi}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{64} =\frac{8\pi\sqrt{3}}{64} =\frac{\pi\sqrt{3}}{8}.
  1. Valor numérico (usar \pi\approx3{,}1416, \sqrt{3}\approx1{,}73205):
\text{APF}_{\text{BCC}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx0{,}6802\quad(\text{ou }68{,}02\%).
  1. Fração vazia:
\text{vazio}_{\text{BCC}}=1-\frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx1-0{,}6802=0{,}3198\approx0{,}32\quad(\text{ou }32\%).
Interpretação: isso mostra matematicamente porque cerca de 32\% do volume está vazio numa rede BCC — as esferas não preenchem todo o espaço; a geometria do BCC leva a essa fração ocupada \frac{\pi\sqrt{3}}{8} e, consequentemente, ao vazio de 1-\frac{\pi\sqrt{3}}{8}.

Passo 5

Resumo intuitivo e dicas para prova (pra te acalmar):
  • Regra prática: conte N (átomos efetivos por célula) e identifique como os átomos se tocam (aresta → a=2r; diagonal do corpo → a envolvendo \sqrt{3}).
  • Fórmula padrão para APF: \text{APF}=\dfrac{N\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}}{a^{3}}. Substitui a em termos de r e simplifica.
  • Resultado rápido a decorar (útil na prova):
    • SC: \text{APF}=\dfrac{\pi}{6}\approx52{,}36\% → vazio \approx47{,}64\%.
    • BCC: \text{APF}=\dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx68{,}02\% → vazio \approx31{,}98\% (aproximadamente 32\%).
      Força aí — com esse passo a passo dá pra reproduzir a conta na prova sem estresse.

Resposta

(SC) Fração ocupada =\dfrac{\pi}{6}\approx52{,}36\%. Espaços vazios =1-\dfrac{\pi}{6}\approx47{,}64\%.
(BCC) Fração ocupada =\dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx68{,}02\%. Espaços vazios =1-\dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx31{,}98\%\approx32\%.

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