Encontre a primeira derivada.
f(x)=10 x^{10}+5 x^{3}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a primeira derivada da função abaixo.
f(x)=10x^{10}+5x^{3}
Informações dadas: é uma soma de dois monômios, com coeficientes \,10 e \,5 e expoentes \,10 e \,3. A tarefa é calcular f'(x), a derivada de primeira ordem dessa função.

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (explicação passo a passo): quando temos uma potência x^{n} com n inteiro positivo, a derivada de x^{n} em relação a x é dada por
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Se houver um coeficiente multiplicando a potência, digamos a\cdot x^{n}, a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\cdot n x^{n-1}.
Explicação intuitiva: a derivada mede a taxa de variação; ao diferenciar x^{n} usamos o desenvolvimento do quociente de diferença (ou a regra do expoente) que reduz o expoente em 1 e multiplica pelo valor do expoente original. Aqui a é uma constante que sai multiplicando o resultado. Além disso, a derivada da soma é a soma das derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=\frac{d}{dx}u(x)+\frac{d}{dx}v(x).
Essas são as ferramentas completas que precisamos para este exercício.

Passo 3

Aplicando a regra ao primeiro termo \,10x^{10}: o coeficiente a=10 e o expoente n=10. Então
\frac{d}{dx}\bigl(10x^{10}\bigr)=10\cdot 10 x^{10-1}=100x^{9}.
Expliquei cada peça: multiplica-se o coeficiente pelo expoente e diminui-se o expoente em uma unidade.

Passo 4

Aplicando a regra ao segundo termo \,5x^{3}: o coeficiente a=5 e o expoente n=3. Então
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{3}\bigr)=5\cdot 3 x^{3-1}=15x^{2}.
Mesma ideia: coeficiente vezes expoente e expoente reduzido em 1.

Passo 5

Somando as derivadas de cada termo (porque a derivada da soma é a soma das derivadas), obtemos
f'(x)=100x^{9}+15x^{2}.
Dica extra rápida para a prova: se quiseres, podes fatorar um fator comum para simplificar a escrita:
f'(x)=5x^{2}\bigl(20x^{7}+3\bigr),
mas a forma expandida também é perfeitamente correta.

Resposta

f'(x)=100x^{9}+15x^{2}

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