5.73 Troy usa uma corda desgastada para puxar uma caixa ao longo de um piso plano. A tensão máxima que a corda pode suportar é T max e o coeficiente de atrito cinético é muC. a) Mostre que o peso máximo que pode ser puxado com velocidade constante é dado por T maxx /(sen theta), onde theta=arctan muC é o ângulo da corda acima da horizontal. b) A resposta do item (a) sugere que Troy poderia puxar um peso que tende ao infinito até com um fio de uma teia de aranha quando o coeficiente de atrito cinético tende a zero. Explique.

Passo 1

O enunciado diz que Troy puxa uma caixa de peso W com uma corda que faz um ângulo theta acima da horizontal, sofrendo atrito cinético de coeficiente muC. A corda só aguenta até uma tensão máxima Tmax e a velocidade é constante (equilíbrio de forças). Precisamos usar o diagrama de forças, escrever as equações de equilíbrio nas direções vertical e horizontal e achar a relação entre W e T, depois colocar T=Tmax.

Passo 2

Desenhamos o diagrama de corpo livre da caixa. As forças são:
  1. o peso para baixo, ,W.
  2. a tração da corda que tem componentes horizontal e vertical: ,Tcostheta (direita) e ,Tsintheta (para cima).
  3. a força normal do chão, N, para cima.
  4. a força de atrito cinético, Frm atr=muC N, para a esquerda.

Passo 3

Escrevemos o equilíbrio vertical (somatório das forças verticais igual a zero):
N + Tsintheta - W = 0
Logo
N = W - Tsintheta

Passo 4

Escrevemos o equilíbrio horizontal (tração para a direita igual ao atrito para a esquerda):
Tcostheta - muC N = 0
Substituindo N:
Tcostheta = muC,(W - Tsintheta)

Passo 5

Isolamos W:
Tcostheta = muC W - muC Tsintheta Longrightarrow muC W = Tcostheta + muC,Tsintheta
W = Tl(costhetamuC + sinthetar)

Passo 6

Usamos theta=arctanmuC, então
costheta = 1raiz1+muC^2, sintheta = muCraiz1+muC^2
Assim
costhetamuC + sintheta = 1muCraiz1+muC^2 + muCraiz1+muC^2 = 1+muC^2muCraiz1+muC^2 = raiz1+muC^2muC = 1sintheta
Portanto, para a tensão máxima T=Tmax, o peso máximo é
Wmax = Tmax,1sintheta

Passo 7

Quando muCto0, temos theta=arctanmuCto0 e sinthetato0, logo
,Wmax=Tmax/sinthetatoinfty. Fisicamente, se não há atrito, basta uma componente horizontal muito pequena de força para manter a velocidade constante, então mesmo pesos enormes podem ser movidos sem ultrapassar o limite de tensão da corda.

Resposta

O peso máximo que pode ser puxado com velocidade constante é
Wmax = Tmaxsintheta,
onde theta=arctanmuC.
Conforme muCto0, sinthetato0 e Wmaxtoinfty, explicando por que, sem atrito, até um fio frágil poderia mover um peso arbitrário.

Exercícios relacionados