5.73 Troy usa uma corda desgastada para puxar uma caixa ao longo de um piso plano. A tensão máxima que a corda pode suportar é
e o coeficiente de atrito cinético é
. a) Mostre que o peso máximo que pode ser puxado com velocidade constante é dado por
, onde
é o ângulo da corda acima da horizontal. b) A resposta do item (a) sugere que Troy poderia puxar um peso que tende ao infinito até com um fio de uma teia de aranha quando o coeficiente de atrito cinético tende a zero. Explique.
Passo 1
O enunciado diz que Troy puxa uma caixa de peso
com uma corda que faz um ângulo
acima da horizontal, sofrendo atrito cinético de coeficiente
. A corda só aguenta até uma tensão máxima
e a velocidade é constante (equilíbrio de forças). Precisamos usar o diagrama de forças, escrever as equações de equilíbrio nas direções vertical e horizontal e achar a relação entre
e
, depois colocar
.
Passo 2
Desenhamos o diagrama de corpo livre da caixa. As forças são:
- o peso para baixo,
. - a tração da corda que tem componentes horizontal e vertical:
(direita) e (para cima). - a força normal do chão,
, para cima. - a força de atrito cinético,
, para a esquerda.
Passo 3
Escrevemos o equilíbrio vertical (somatório das forças verticais igual a zero):
Logo
Passo 4
Escrevemos o equilíbrio horizontal (tração para a direita igual ao atrito para a esquerda):
Substituindo
:
Passo 5
Isolamos
:
Passo 6
Usamos
, então
Assim
Portanto, para a tensão máxima
, o peso máximo é
Passo 7
Quando
, temos
e
, logo
. Fisicamente, se não há atrito, basta uma componente horizontal muito pequena de força para manter a velocidade constante, então mesmo pesos enormes podem ser movidos sem ultrapassar o limite de tensão da corda.
Resposta
O peso máximo que pode ser puxado com velocidade constante é
onde
.
Conforme ,
e
, explicando por que, sem atrito, até um fio frágil poderia mover um peso arbitrário.
Conforme