1.73 Verifique se os pontos e são vértices de um triângulo. Em caso afirmativo, classifique o triângulo em retângulo, isóceles ou eqüilátero e calcule sua área.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os pontos , e formam vértices de um triângulo no espaço. Para isso vamos usar vetores para testar colinearidade, depois calcular as distâncias entre os pontos para classificar o triângulo (retângulo, isósceles ou equilátero) e, por fim, calcular sua área. O conteúdo principal envolve produto vetorial, norma de vetor e Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Formamos os vetores e e verificamos se são colineares usando o produto vetorial. Se , então os três pontos não são colineares e definem um triângulo.
Calculamos o produto vetorial
Como ABtimesAC=(-60,-31,-8)neq(0,0,0), os vetores não são colineares e portanto os pontos formam um triângulo.]
Passo 3
Agora calculamos as distâncias entre cada par de pontos, usando a norma de vetor.
Para classificar o triângulo comparamos os comprimentos:
Como AB = AC = 9 e BC = 5raiz10neq9, o triângulo é isósceles (dois lados iguais).
Verificamos se é retângulo aplicando Pitágoras a cada combinação de lados. Por exemplo,
AB^2 + AC^2 = 9^2 + 9^2 = 162
BC^2 = (5raiz10)^2 = 250
Como 162neq250 (e as outras somas análogas também não coincidem), o triângulo não é retângulo. Também não é equilátero porque nem todos os três lados são iguais. Logo é um triângulo isósceles.
Passo 5
Para calcular a área de um triângulo no espaço usamos