1.73 Verifique se os pontos A(-1,-3,4), B(-2,1,-4) e C(3,-11,5) são vértices de um triângulo. Em caso afirmativo, classifique o triângulo em retângulo, isóceles ou eqüilátero e calcule sua área.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os pontos A(-1,-3,4), B(-2,1,-4) e C(3,-11,5) formam vértices de um triângulo no espaço. Para isso vamos usar vetores para testar colinearidade, depois calcular as distâncias entre os pontos para classificar o triângulo (retângulo, isósceles ou equilátero) e, por fim, calcular sua área. O conteúdo principal envolve produto vetorial, norma de vetor e Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Formamos os vetores AB e AC e verificamos se são colineares usando o produto vetorial. Se ABtimesACneq0, então os três pontos não são colineares e definem um triângulo.
AB = B - A = (-2 - (-1),;1 - (-3),;-4 - 4) = (-1,;4,;-8)
AC = C - A = (3 - (-1),;-11 - (-3),;5 - 4) = (4,;-8,;1)
Calculamos o produto vetorial
ABtimesAC = i & j & k [6pt] -1 & 4 & -8 [2pt] 4 & -8 & 1 =(-60,,-31,,-8)
Como ABtimesAC=(-60,-31,-8)neq(0,0,0), os vetores não são colineares e portanto os pontos formam um triângulo.]

Passo 3

Agora calculamos as distâncias entre cada par de pontos, usando a norma de vetor.
AB = |AB| = raiz(-1)^2 + 4^2 + (-8)^2 = raiz1 + 16 + 64 = 9
AC = |AC| = raiz4^2 + (-8)^2 + 1^2 = raiz16 + 64 + 1 = 9
BC = |C - B| = raiz(3 - (-2))^2 + (-11 - 1)^2 + (5 - (-4))^2 = raiz5^2 + (-12)^2 + 9^2 = raiz25 + 144 + 81 = raiz250 = 5raiz10

Passo 4

Para classificar o triângulo comparamos os comprimentos:
  • Como AB = AC = 9 e BC = 5raiz10neq9, o triângulo é isósceles (dois lados iguais).
  • Verificamos se é retângulo aplicando Pitágoras a cada combinação de lados. Por exemplo,
AB^2 + AC^2 = 9^2 + 9^2 = 162
BC^2 = (5raiz10)^2 = 250
Como 162neq250 (e as outras somas análogas também não coincidem), o triângulo não é retângulo. Também não é equilátero porque nem todos os três lados são iguais. Logo é um triângulo isósceles.

Passo 5

Para calcular a área de um triângulo no espaço usamos
Área = 12,l|ABtimesACr| Á
Já temos ABtimesAC=(-60,-31,-8), cuja norma é
l|(-60,-31,-8)r| = raiz(-60)^2 + (-31)^2 + (-8)^2 = raiz3600 + 961 + 64 = raiz4625 =5raiz185
Portanto
Área = 12times 5raiz185 = 52,raiz185 Á

Resposta

Os pontos formam um triângulo isósceles e sua área é 52raiz185.

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