1.74 Considere os vetores u=2 i+j+3 k e v=4 i+j-3 k. Construa uma base ortonormal positiva a, b, c, sendo a paralelo ao vetor u e b paralelo ao vetor v. Determine as coordenadas do vetor w=i+j+k na base a, b, c.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores u=2i+j+3k e v=4i+j-3k e pede uma base ortonormal positiva a,b,c com aparal<=lu, bparal<=lv, e em seguida as coordenadas de w=i+j+k nessa base. Vamos usar Gram–Schmidt para ortonormalizar u,v e então definir c=atimesb para garantir orientação positiva. Finalmente, expressamos w como combinação linear de a,b,c via produtos internos.

Passo 2

Normalizamos u para obter a. Primeiro calculamos
|u| = raiz2^2 + 1^2 + 3^2 = raiz14
Logo,
a = u|u| = 1raiz14l(2,,1,,3r)

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt em v. Calculamos o produto interno
vcdota = l(4,1,-3r)cdot1raiz14l(2,1,3r) = 8+1-9raiz14 = 0,
portanto v já é ortogonal a a. Basta normalizar v. Temos
|v| = raiz4^2 + 1^2 + (-3)^2 = raiz26,
então
b = v|v| = 1raiz26l(4,,1,,-3r)

Passo 4

Para completar a base ortonormal positiva, definimos
c = atimes b
Usando a=1raiz14(2,1,3) e b=1raiz26(4,1,-3), temos
atimesb =1raiz14,cdot,26,(2,1,3)times(4,1,-3) =1raiz364;(-6,,18,,-2) =12raiz91(-6,18,-2),
ou seja
c = 1raiz91(-3,,9,,-1)

Passo 5

Agora escrevemos w=(1,1,1) na base a,b,c. Se w = alphaa+betab+gammac, então
alpha = wcdota = 1raiz14,(1,1,1)cdot(2,1,3) = 6raiz14,
beta = wcdotb = 1raiz26,(1,1,1)cdot(4,1,-3) = 2raiz26,
gamma = wcdotc = 1raiz91,(1,1,1)cdot(-3,9,-1) = 5raiz91

Resposta

As coordenadas de w na base a,b,c são
l(alpha,beta,gammar) =l(tfrac6raiz14,,tfrac2raiz26,,tfrac5raiz91r)

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