1.74 Considere os vetores
e
. Construa uma base ortonormal positiva
, sendo
paralelo ao vetor
e
paralelo ao vetor
. Determine as coordenadas do vetor
na base
.
Passo 1
O enunciado nos dá os vetores
e
e pede uma base ortonormal positiva
com
,
, e em seguida as coordenadas de
nessa base. Vamos usar Gram–Schmidt para ortonormalizar
e então definir
para garantir orientação positiva. Finalmente, expressamos
como combinação linear de
via produtos internos.
Passo 2
Normalizamos
para obter
. Primeiro calculamos
Logo,
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt em
. Calculamos o produto interno
portanto
já é ortogonal a
. Basta normalizar
. Temos
então
Passo 4
Para completar a base ortonormal positiva, definimos
Usando
e
, temos
ou seja
Passo 5
Agora escrevemos
na base
. Se
, então
Resposta
As coordenadas de
na base
são