Exprime as seguintes funções na forma de cosseno:
20 \operatorname{sen}(\omega t+30)

Passo 1

O enunciado dá a função 20\operatorname{sen}(\omega t+30) e pede que eu a expresse na forma de cosseno.
Informações relevantes:
  • A função dada é 20\operatorname{sen}(\omega t+30).
  • Não foi indicado explicitamente se o 30 está em graus ou radianos. Vou assumir que está em graus (isto é, 30^\circ). Se for radiano, o raciocínio é análogo trocando 90^\circ por \tfrac{\pi}{2}.
    O que se pede: escrever uma expressão equivalente usando a função cosseno, isto é encontrar uma fase \varphi tal que a função seja 20\cos(\omega t+\varphi).

Passo 2

Lembra da identidade trigonométrica que liga seno e cosseno. Posso provar uma forma útil a partir da fórmula do cosseno da diferença:
\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.
Escolhendo b=90^\circ e sabendo que \cos90^\circ=0 e \sin90^\circ=1, obtemos
\cos(a-90^\circ)=\cos a\cdot 0 + \sin a\cdot 1 = \sin a.
Portanto a identidade usada será
\sin a = \cos\bigl(a-90^\circ\bigr).
(Em radianos: \sin a=\cos\bigl(a-\tfrac{\pi}{2}\bigr).)

Passo 3

Agora aplico a identidade ao argumento da função dada. Substituindo a=\omega t+30^\circ em \sin a=\cos(a-90^\circ), tenho
\sin(\omega t+30^\circ)=\cos\bigl((\omega t+30^\circ)-90^\circ\bigr).
Simplificando a fase:
(\omega t+30^\circ)-90^\circ=\omega t-60^\circ.
Multiplicando pelo fator 20, obtemos a forma em cosseno:
20\sin(\omega t+30^\circ)=20\cos(\omega t-60^\circ).

Passo 4

Verificação rápida (pra ficar mais seguro): em t=0 a expressão original vale 20\sin(30^\circ)=20\cdot\tfrac{1}{2}=10. A expressão em cosseno dá 20\cos(-60^\circ)=20\cos(60^\circ)=20\cdot\tfrac{1}{2}=10. Coincidem, ótimo.
Observação: fases equivalentes podem ser acrescentadas/subtraídas por 360^\circ. Assim outra forma válida é
20\cos(\omega t-60^\circ)=20\cos(\omega t+300^\circ).
Se o 30 do enunciado for em radianos, a forma correspondente seria
20\sin(\omega t+30)=20\cos\!\bigl(\omega t+30-\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Resposta

20\cos(\omega t-60^\circ)
20\cos(\omega t+300^\circ)

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