Q. 4 (0.75) - Sejam os planos:
\alpha: 2 k x-4 y-3 k z+7=0;
\beta: 8 x-k y-12 z+3+k=0.
Se os planos são paralelos não-coincidentes, o valor de k é igual a (pode ter mais de uma resposta correta):
a) ( ) +4 , somente
b) ( ) -2 ou +2
c) ( ) -4 \dot{u}+4
d) ( ) -4 , somente
e) h^{\prime} ) -2 , somente
f) ( ) +1 ou -1
g) ( ) +3 ou -3
h) ( ) +2 , somente

Passo 1

O enunciado dá os planos
\alpha:2k\,x-4y-3k\,z+7=0 e
\beta:8x-k\,y-12z+(3+k)=0
e pede os valores de k para os quais eles são paralelos e não coincidentes. Vamos usar a condição de que dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são proporcionais, e são não coincidentes se, nessa proporção, as constantes independentes não coincidem.

Passo 2

Extraímos os vetores normais:
\displaystyle n_1=(2k,\,-4,\,-3k) para \alpha
\displaystyle n_2=(8,\,-k,\,-12) para \beta

Passo 3

Para paralelismo existe \lambda\neq0 tal que
(2k,\,-4,\,-3k)=\lambda\,(8,\,-k,\,-12)
ou seja,
2k=8\lambda,\quad -4=-k\lambda,\quad -3k=-12\lambda.

Passo 4

Das duas primeiras igualdades obtemos
\lambda=\frac{2k}{8}=\frac{k}{4} e \lambda=\frac{4}{k}.
Igualando-as surge
\frac{k}{4}=\frac{4}{k} \quad\Longrightarrow\quad k^2=16 \quad\Longrightarrow\quad k=\pm4.

Passo 5

Agora verificamos a não coincidência: se os planos fossem coincidentes também precisaria que, na mesma proporção \lambda, a parte constante de \beta, que é 3+k, satisfizesse \lambda(3+k)=7.
  • Para k=+4 temos \lambda=+1 e 3+k=7, logo \lambda(3+k)=7, o que faz os planos coincidirem.
  • Para k=-4 temos \lambda=-1 e 3+k=-1, logo \lambda(3+k)=+1\neq7, então são paralelos não coincidentes.

Resposta

O valor de k que torna os planos paralelos não-coincidentes é -4, ou seja, alternativa d).

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