Q. 7 (0.75) - Considere o plano \pi: 3 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}+5 \mathrm{z}+ 1=0 e a reta \mathrm{r}: \mathrm{X}:(1,2,3)+\lambda \cdot(5, \mathrm{~b}, \mathrm{c}), \lambda \in \mathbb{R}. Sabendo-se que \mathrm{r} \perp \pi, então \mathrm{b}+\mathrm{c} vale:
a) ( ) 17
b) ( ) 13
c) ( ) 12
d) ( ) 18
e) ( ) 19
f) ( ) 16
g) ( ) 14
h) ( ) 15

Passo 1

O enunciado dá o plano \pi:3x+4y+5z+1=0 e a reta
r:\;X=(1,2,3)+\lambda\,(5,b,c),\;\lambda\in\mathbb{R},
e pede o valor de b+c sabendo que r\perp\pi. O conteúdo é geometria vetorial: para a reta ser perpendicular ao plano, seu vetor direção deve ser paralelo ao vetor normal ao plano.

Passo 2

O vetor normal ao plano \pi é
n=(3,4,5),
e o vetor direção da reta é
v=(5,b,c).

Passo 3

Para v ser paralelo a n existe escalar k tal que
v = k\,n.
Comparando a primeira componente,
5 = 3k \quad\Longrightarrow\quad k = \tfrac{5}{3}.

Passo 4

Usando k=\tfrac{5}{3} nas outras componentes,
b = 4k = 4\cdot\tfrac{5}{3} = \tfrac{20}{3}, \quad c = 5k = 5\cdot\tfrac{5}{3} = \tfrac{25}{3}.
Logo
b+c = \tfrac{20}{3} + \tfrac{25}{3} = \tfrac{45}{3} = 15.

Resposta

h) 15

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