Questão 5: Determine a regra de T: R^{3} \rightarrow R^{2}, onde a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} em relação às bases \alpha=\{(1,1),(1,0)\} e \beta=\{(1,-1,0),(1,1,0),(1,1,1)\} é
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 0 \\\\ 3 & 0 & -1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a regra explícita de
T\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^2
sendo que em relação à base do domínio
\beta=\{(1,-1,0),\,(1,1,0),\,(1,1,1)\}
e à base do contradomínio
\alpha=\{(1,1),\,(1,0)\}
a matriz de T é
[T]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0\\\\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Para achar T(x,y,z) no sistema de coordenadas padrão, vamos:
1. Expressar as coordenadas de (x,y,z) na base \beta.
2. Multiplicar pela matriz de T.
3. Converter de coordenadas em \alpha para o padrão.

Passo 2

Seja v=(x,y,z)\in\mathbb R^3\). Procuramos \((c_1,c_2,c_3)\) tais que \[v=c_1(1,-1,0)+c_2(1,1,0)+c_3(1,1,1).
Isso dá o sistema
\begin{cases} c_1 + c_2 + c_3 = x,\\\\ -\,c_1 + c_2 + c_3 = y,\\\ c_3 = z. \end{cases}
Da terceira equação vem (c_3=z].
Substituindo nas duas primeiras:
c_1 + c_2 = x - z, \quad -\,c_1 + c_2 = y - z.
Somando essas duas equações:
2c_2 = (x - z) + (y - z) = x + y -2z \quad\Longrightarrow\quad c_2 = \frac{x+y}{2} - z.
Subtraindo:
2c_1 = (x - z) - (y - z) = x - y \quad\Longrightarrow\quad c_1 = \frac{x-y}{2}.
Logo
[c_1,c_2,c_3]^T = \Bigl(\tfrac{x-y}{2},\;\tfrac{x+y}{2}-z,\;z\Bigr)^T.

Passo 3

Aplicamos [T]_{\beta}^{\alpha} a este vetor de coordenadas:
\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0\\\\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1\c_2\c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\\[6pt]b \end{pmatrix}
onde
a = 1\cdot c_1 + 5\cdot c_2 + 0\cdot c_3 = \frac{x - y}{2} + 5\Bigl(\frac{x + y}{2} - z\Bigr) = 3x + 2y - 5z,
b = 3\cdot c_1 + 0\cdot c_2 - 1\cdot c_3 = \tfrac{3(x - y)}{2} - z = \frac{3x - 3y}{2} - z.]

Passo 4

As coordenadas (a,b) estão em relação à base \alpha, ou seja
T(v) = a\,(1,1) + b\,(1,0) = (\,a+b,\;a\,).
Substituindo a e b:
a+b = (3x+2y-5z)\;+\;\Bigl(\tfrac{3x-3y}{2}-z\Bigr) = \frac{9x + y -12z}{2},
a = 3x+2y-5z.

Passo 5

Portanto, em coordenadas padrão, a transformação é
T(x,y,z) =\Bigl(\,\frac{9x+y-12z}{2},\;3x+2y-5z\Bigr).

Resposta

T(x,y,z)=\Bigl(\tfrac{9x+y-12z}{2},\;3x+2y-5z\Bigr).

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