Um capacitor com carga inicial q_{0} é descarregado através de um resistor. Em termos da constante de tempo \tau qual o tempo necessário para que o capacitor perca
Um capacitor de 1,0 \mu \mathrm{~F} com uma energia inicial armazenada de 0,50 \mathrm{~J} é descarregado através de um resistor de 1,0 \mathrm{M} \Omega. (a) Qual é a carga inicial do capacitor? (b) Qual é a corrente no resistor quando a descarga começa? Escreva expressões que permitam calcular, em função do tempo t , (c) a diferença de potencial V_{C} no capacitor; (d) a diferença de potencial V_{R} no resistor e (e) a potência dissipada pelo resistor.
Um capacitor de 1,0 \mu \mathrm{~F} com uma energia inicial armazenada de 0,50 \mathrm{~J} é descarregado através de um resistor de 1,0 \mathrm{M} \Omega. (a) Qual é a carga inicial do capacitor? (b) Qual é a corrente no resistor quando a descarga começa? Escreva expressões que permitam calcular, em função do tempo t , (c) a diferença de potencial V_{C} no capacitor; (d) a diferença de potencial V_{R} no resistor e (e) a potência dissipada pelo resistor.
Passo 1
Enunciado resumido — o que é dado e o que se pede (sem fazer contas ainda):
-
Dados fornecidos:
- Capacitância:
. - Energia inicial armazenada no capacitor:
. - Resistência do resistor:
.
- Capacitância:
-
Pedidos:
(a) A carga inicial do capacitor.
(b) A corrente no resistor quando a descarga começa.
(c) Uma expressão em função do tempopara a diferença de potencial no capacitor .
(d) Uma expressão em função do tempopara a diferença de potencial no resistor .
(e) Uma expressão em função do tempopara a potência dissipada pelo resistor . -
Observação importante que será usada: a constante de tempo do circuito é
. Não resolvemos nada aqui, só listamos o que temos e o que precisamos encontrar.
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais que vamos usar (explicadinhas e sem pular etapas):
- Energia armazenada num capacitor: a energia
em um capacitor de capacitância com tensão é dada por
Aqui
é energia em joules,
em farads e
em volts. Essa fórmula vem da integração do trabalho para carregar o capacitor. Ela nos permite passar de energia para tensão.
- Relação carga-tensão no capacitor:
Aqui
é a carga (coulombs),
a capacitância e
a diferença de potencial entre as placas. Se sabemos
, basta multiplicar por
para obter
.
- Constante de tempo do circuito:
- Lei de descarga (equação diferencial simples): ao descarregar num resistor em série, a carga
satisfaz
Essa equação diz que a taxa de variação da carga é proporcional ao próprio valor e negativa (está diminuindo). A solução dessa equação será uma exponencial decrescente:
Dessa forma obtemos expressão para corrente, tensão no capacitor e potência.
Vou usar essas fórmulas explicitamente nas contas a seguir.
Passo 3
Calcular a tensão inicial
a partir da energia
usando a fórmula da energia do capacitor.
Partimos de
Isolando
temos
Agora substituímos os valores numéricos:
e
.
Então
Interpretação: o capacitor, com a energia dada e essa capacitância, está inicialmente com uma tensão muito alta de
.
Passo 4
Achar a carga inicial
usando
.
Usamos
. Substituindo
e
,
Ou seja,
. (Converter unidades:
.)
Passo 5
Calcular a constante de tempo
do circuito e interpretar.
Interpretação: a escala de tempo da descarga é
. Após
a tensão terá caído para
do valor inicial.
Passo 6
Corrente inicial
— conceito e cálculo numérico.
-
A corrente instantânea na descarga é ligada à derivada da carga:
. Como está diminuindo, essa derivada será negativa (indica que a carga está saindo do capacitor). A magnitude da corrente é . -
Podemos obter imediatamente a corrente inicial usando
(porque no instante inicial a tensão aparece inteira sobre o resistor, e a lei de Ohm vale: , com em módulo).
Cálculo numérico:
Observação de sinal: o valor
é a magnitude considerando a convenção de corrente que sai do capacitor. Se quisermos a corrente algébrica com a convenção
, teremos
(o sinal negativo indica queda da carga). Para a maioria das perguntas práticas, dá-se a magnitude
.
Passo 7
Derivação da solução temporal
(passo-a-passo da equação diferencial, para você entender como obter exponencial).
A equação diferencial da descarga é
Isto é uma equação separável. Separe variáveis e integre:
Integrando ambos os lados (de
a
e de
a
):
O lado esquerdo dá
e o direito dá
. Assim:
Exponentiando:
Essa é a forma canônica: exponencial decrescente com constante de tempo
.
Passo 8
Expressão para a diferença de potencial no capacitor
.
Usamos
. Substituindo
e
,
Substitua
e
para a forma numérica:
Interpretação: a tensão cai exponencialmente do valor inicial
para zero com escala de tempo
.
Passo 9
Expressão para a diferença de potencial no resistor
.
- A queda de tensão no resistor é
. Encontramos derivando :
- Multiplicando por
:
A presença do sinal negativo mostra que a polaridade do resistor é tal que sua queda é oposta à tensão do capacitor (dependendo da convenção de sinais). Em módulo,
Forma numérica com
e
:
Passo 10
Expressão para a potência dissipada pelo resistor
e valor inicial.
- A potência instantânea dissipada no resistor é
. Usando ,
-
Alternativamente, usando a tensão no resistor:
; dá o mesmo resultado. -
Substituindo valores numéricos (
, ):
Portanto a potência inicial é
e ela decai exponencialmente com constante de tempo
(porque o expoente é
).
Passo 11
Pequena interpretação final e dica prática para prova:
- Resuma mentalmente: primeiro encontre
a partir da energia, depois e . A solução temporal vem da equação diferencial simples que leva à exponencial . Use sempre para escrever tudo em termos de . - Dica: quando valores numéricos simplificam (aqui
), as exponenciais ficam especialmente simples na resposta final.
Resposta
(a)
(b) (magnitude).
(c)
(d) (em módulo
).
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)