Um capacitor com carga inicial q_{0} é descarregado através de um resistor. Em termos da constante de tempo \tau qual o tempo necessário para que o capacitor perca
Um capacitor de 1,0 \mu \mathrm{~F} com uma energia inicial armazenada de 0,50 \mathrm{~J} é descarregado através de um resistor de 1,0 \mathrm{M} \Omega. (a) Qual é a carga inicial do capacitor? (b) Qual é a corrente no resistor quando a descarga começa? Escreva expressões que permitam calcular, em função do tempo t , (c) a diferença de potencial V_{C} no capacitor; (d) a diferença de potencial V_{R} no resistor e (e) a potência dissipada pelo resistor.

Passo 1

Enunciado resumido — o que é dado e o que se pede (sem fazer contas ainda):
  • Dados fornecidos:
    • Capacitância: C=1{,}0\\ \mu\mathrm{F}=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
    • Energia inicial armazenada no capacitor: U=0{,}50\\ \mathrm{J}.
    • Resistência do resistor: R=1{,}0\\ \mathrm{M}\Omega=1{,}0\times10^{6}\\ \Omega.
  • Pedidos:
    (a) A carga inicial do capacitor q_{0}.
    (b) A corrente no resistor quando a descarga começa i(0).
    (c) Uma expressão em função do tempo t para a diferença de potencial no capacitor V_{C}(t).
    (d) Uma expressão em função do tempo t para a diferença de potencial no resistor V_{R}(t).
    (e) Uma expressão em função do tempo t para a potência dissipada pelo resistor P_{R}(t).
  • Observação importante que será usada: a constante de tempo do circuito é \tau=RC. Não resolvemos nada aqui, só listamos o que temos e o que precisamos encontrar.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais que vamos usar (explicadinhas e sem pular etapas):
  • Energia armazenada num capacitor: a energia U em um capacitor de capacitância C com tensão V é dada por
U=\tfrac{1}{2} C V^{2}.
Aqui U é energia em joules, C em farads e V em volts. Essa fórmula vem da integração do trabalho para carregar o capacitor. Ela nos permite passar de energia para tensão.
  • Relação carga-tensão no capacitor:
q=C V.
Aqui q é a carga (coulombs), C a capacitância e V a diferença de potencial entre as placas. Se sabemos V, basta multiplicar por C para obter q.
  • Constante de tempo do circuito:
\tau=R C.
\tau tem dimensão de tempo (segundos). Intuitivamente, \tau é a escala de tempo em que o capacitor descarrega: depois de um tempo t=\tau a tensão típica já caiu para cerca de 1/e (~37%) do valor inicial.
  • Lei de descarga (equação diferencial simples): ao descarregar num resistor em série, a carga q(t) satisfaz
\frac{dq}{dt} = -\frac{q}{RC}.
Essa equação diz que a taxa de variação da carga é proporcional ao próprio valor e negativa (está diminuindo). A solução dessa equação será uma exponencial decrescente:
q(t)=q_{0} e^{-t/(RC)}.
Dessa forma obtemos expressão para corrente, tensão no capacitor e potência.
Vou usar essas fórmulas explicitamente nas contas a seguir.

Passo 3

Calcular a tensão inicial V_{0} a partir da energia U usando a fórmula da energia do capacitor.
Partimos de
U=\tfrac{1}{2} C V_{0}^{2}.
Isolando V_{0} temos
V_{0}=\sqrt{\frac{2U}{C}}.
Agora substituímos os valores numéricos: U=0{,}50\\ \mathrm{J} e C=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
\frac{2U}{C}=\frac{2\times 0{,}50}{1{,}0\times10^{-6}}=\frac{1{,}0}{1{,}0\times10^{-6}}=1{,}0\times10^{6}.
Então
V_{0}=\sqrt{1{,}0\times10^{6}}=1{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{V}=1000\\ \mathrm{V}.
Interpretação: o capacitor, com a energia dada e essa capacitância, está inicialmente com uma tensão muito alta de 1000\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Achar a carga inicial q_{0} usando q=C V.
Usamos q_{0}=C V_{0}. Substituindo C=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{F} e V_{0}=1000\\ \mathrm{V},
q_{0}=1{,}0\times10^{-6}\times 1000=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{C}.
Ou seja, q_{0}=1{,}0\\ \mathrm{mC}. (Converter unidades: 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{C}=1{,}0\\ \mathrm{mC}.)

Passo 5

Calcular a constante de tempo \tau do circuito e interpretar.
\tau=R C= (1{,}0\times10^{6}\\ \Omega)\times(1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{F})=1{,}0\\ \mathrm{s}.
Interpretação: a escala de tempo da descarga é \tau=1\\ \mathrm{s}. Após t=\tau a tensão terá caído para 1/e do valor inicial.

Passo 6

Corrente inicial i(0) — conceito e cálculo numérico.
  • A corrente instantânea na descarga é ligada à derivada da carga: i(t)=\dfrac{dq}{dt}. Como q está diminuindo, essa derivada será negativa (indica que a carga está saindo do capacitor). A magnitude da corrente é |i|.
  • Podemos obter imediatamente a corrente inicial usando i(0)=\dfrac{V_{0}}{R} (porque no instante inicial a tensão V_{C}(0)=V_{0} aparece inteira sobre o resistor, e a lei de Ohm vale: i=V_{R}/R, com V_{R}=V_{C} em módulo).
Cálculo numérico:
i(0)=\frac{V_{0}}{R}=\frac{1000}{1{,}0\times10^{6}}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{A}=1{,}0\\ \mathrm{mA}.
Observação de sinal: o valor +1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{A} é a magnitude considerando a convenção de corrente que sai do capacitor. Se quisermos a corrente algébrica com a convenção i=\dfrac{dq}{dt}, teremos i(0)=-\dfrac{q_{0}}{RC}=-1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{A} (o sinal negativo indica queda da carga). Para a maioria das perguntas práticas, dá-se a magnitude 1{,}0\\ \mathrm{mA}.

Passo 7

Derivação da solução temporal q(t) (passo-a-passo da equação diferencial, para você entender como obter exponencial).
A equação diferencial da descarga é
\frac{dq}{dt}=-\frac{q}{RC}.
Isto é uma equação separável. Separe variáveis e integre:
\frac{dq}{q}=-\frac{dt}{RC}.
Integrando ambos os lados (de q_{0} a q(t) e de 0 a t):
\int_{q_{0}}^{q(t)}\frac{dq'}{q'}=-\int_{0}^{t}\frac{dt'}{RC}.
O lado esquerdo dá \ln\!\big(\tfrac{q(t)}{q_{0}}\big) e o direito dá -\tfrac{t}{RC}. Assim:
\ln\!\bigg(\frac{q(t)}{q_{0}}\bigg)=-\frac{t}{RC}.
Exponentiando:
q(t)=q_{0} e^{-t/(RC)} = q_{0} e^{-t/\tau}.
Essa é a forma canônica: exponencial decrescente com constante de tempo \tau.

Passo 8

Expressão para a diferença de potencial no capacitor V_{C}(t).
Usamos V_{C}(t)=\dfrac{q(t)}{C}. Substituindo q(t)=q_{0} e^{-t/(RC)} e q_{0}=C V_{0},
V_{C}(t)=V_{0} e^{-t/(RC)} = V_{0} e^{-t/\tau}.
Substitua V_{0}=1000\\ \mathrm{V} e \tau=1\\ \mathrm{s} para a forma numérica:
V_{C}(t)=1000\\ e^{-t/1\\ \mathrm{s}}\\ \mathrm{V}.
Interpretação: a tensão cai exponencialmente do valor inicial 1000\\ \mathrm{V} para zero com escala de tempo 1\\ \mathrm{s}.

Passo 9

Expressão para a diferença de potencial no resistor V_{R}(t).
  • A queda de tensão no resistor é V_{R}(t)=i(t)\,R. Encontramos i(t) derivando q(t):
i(t)=\frac{dq}{dt} = -\frac{q_{0}}{RC} e^{-t/(RC)} = -\frac{V_{0}}{R} e^{-t/(RC)}.
  • Multiplicando por R:
V_{R}(t)=i(t)R = -V_{0} e^{-t/(RC)} = -V_{0} e^{-t/\tau}.
A presença do sinal negativo mostra que a polaridade do resistor é tal que sua queda é oposta à tensão do capacitor (dependendo da convenção de sinais). Em módulo,
|V_{R}(t)|=V_{0} e^{-t/\tau}.
Forma numérica com V_{0}=1000\\ \mathrm{V} e \tau=1\\ \mathrm{s}:
V_{R}(t)=-1000\\ e^{-t/1\\ \mathrm{s}}\\ \mathrm{V}\quad\text{(ou em módulo }1000\,e^{-t}\\ \mathrm{V}\text{).}ó

Passo 10

Expressão para a potência dissipada pelo resistor P_{R}(t) e valor inicial.
  • A potência instantânea dissipada no resistor é P_{R}(t)=i(t)^{2}R. Usando i(t)=-\dfrac{V_{0}}{R} e^{-t/\tau},
P_{R}(t)=\left(\frac{V_{0}}{R} e^{-t/\tau}\right)^{2} R = \frac{V_{0}^{2}}{R} e^{-2t/\tau}.
  • Alternativamente, usando a tensão no resistor: P_{R}(t)=\dfrac{V_{R}(t)^{2}}{R}; dá o mesmo resultado.
  • Substituindo valores numéricos ( V_{0}=1000\\ \mathrm{V}, R=1{,}0\times10^{6}\\ \Omega):
P_{R}(t)=\frac{(1000)^{2}}{1{,}0\times10^{6}} e^{-2t/1\\ \mathrm{s}}=1{,}0\\ e^{-2t}\\ \mathrm{W}.
Portanto a potência inicial é P_{R}(0)=1{,}0\\ \mathrm{W} e ela decai exponencialmente com constante de tempo \tau/2 (porque o expoente é e^{-2t/\tau}).

Passo 11

Pequena interpretação final e dica prática para prova:
  • Resuma mentalmente: primeiro encontre V_{0} a partir da energia, depois q_{0}=C V_{0} e i(0)=V_{0}/R. A solução temporal vem da equação diferencial simples dq/dt=-q/(RC) que leva à exponencial e^{-t/\tau}. Use sempre \tau=RC para escrever tudo em termos de \tau.
  • Dica: quando valores numéricos simplificam (aqui \tau=1\\ \mathrm{s}), as exponenciais ficam especialmente simples na resposta final.

Resposta

(a) q_{0}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{C}.
(b) i(0)=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{A} (magnitude).
(c) V_{C}(t)=V_{0}e^{-t/\tau}=1000\,e^{-t/1\\ \mathrm{s}}\\ \mathrm{V}.
(d) V_{R}(t)=i(t)R=-V_{0}e^{-t/\tau}=-1000\,e^{-t/1\\ \mathrm{s}}\\ \mathrm{V} (em módulo 1000\,e^{-t}\\ \mathrm{V}).
(e) P_{R}(t)=\dfrac{V_{0}^{2}}{R}e^{-2t/\tau}=1{,}0\,e^{-2t}\\ \mathrm{W}.

Exercícios relacionados