1.76 O número de Mach, definido como a razāo entre a velocidades locais do escoamento e a do som ( \mathrm{Ma}=V / c ), é um grupo adimensional importante nos escoamentos compressíveis. Admita que a velocidade de disparo de um projetil e 1287 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Considerando que a pressão atmosférica é a padrão e que a temperatura no local do disparo e 10^{\circ} \mathrm{C}, determine o número de Mach referente ao escoamento em torno do projétil.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo abaixo foi retirado do enunciado):
  • Velocidade do projétil: V=1287\\ \mathrm{km/h}.
  • Temperatura no local do disparo: 10^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão atmosférica: padrão (não são dados valores numéricos adicionais).
    O que se pede: determinar o número de Mach referente ao escoamento em torno do projétil, ou seja calcular \mathrm{Ma}=V/c, onde c é a velocidade do som local.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter a velocidade do projétil para unidades SI ( \mathrm{m/s}).
A conversão é 1\\ \mathrm{km/h}=1/3{,}6\\ \mathrm{m/s}. Assim:
V = 1287\\ \mathrm{km/h} = \frac{1287}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s} = 357{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora precisamos da velocidade do som c no ar à temperatura dada. Para ar ideal a velocidade do som é dada por
c = \sqrt{\gamma R T},
onde:
  • \gamma é a razão de capacidades térmicas (para ar seco, \gamma=1{,}4),
  • R é a constante específica do gás para o ar ( R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
Converta a temperatura:
T = 10^\circ\mathrm{C} = 10 + 273{,}15 = 283{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular o produto dentro da raiz e, em seguida, a raiz quadrada:
\gamma R T = 1{,}4 \times 287 \times 283{,}15.
Fazendo as contas em partes:
287\times 283{,}15 = 81264{,}05,
1{,}4 \times 81264{,}05 = 113769{,}67.
Portanto
c = \sqrt{113769{,}67}\\ \mathrm{m/s} \approx 337{,}30\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Agora calcula-se o número de Mach por divisão:
\mathrm{Ma}=\frac{V}{c}=\frac{357{,}5}{337{,}30}\approx 1{,}0596\approx 1{,}06.
Interpretação rápida (útil para a prova): como \mathrm{Ma}>1, o projétil está viajando em condição ligeiramente supersônica (ou seja, acima da velocidade do som local).

Resposta

\mathrm{Ma}\approx 1{,}06

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