1.88 Um tubo aberto, com 2 mm de diâmetro interno, é inserido num banho de álcool etílico e um outro tubo, similar ao primeiro mas com 4 mm de diâmetro interno, é inserido num banho de água. A altura da coluna de líquido formada será maior em que tubo? Admita que o ângulo de contato seja o mesmo nos dois casos.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Dois tubos capilares de mesmo material (mesmo ângulo de contato) com diâmetros internos:
    • Tubo A (álcool etílico): diâmetro 2\\ \text{mm}.
    • Tubo B (água): diâmetro 4\\ \text{mm}.
  • Cada tubo é inserido em seu respectivo banho (álcool em A, água em B).
    A pergunta: em qual dos dois tubos a altura da coluna de líquido formada por capilaridade será maior?

Passo 2

Conceito e fórmula básica (aula curtinha de capilaridade).
  • A subida capilar ocorre porque a tensão superficial \gamma age ao longo do perímetro do tubo, puxando o líquido para cima; essa força é equilibrada pelo peso da coluna de líquido.
  • Força para cima devido à tensão superficial (componente vertical): \;F_{\text{up}}=2\pi r\,\gamma\cos\theta, onde
    • r é o raio interno do tubo,
    • \gamma é a tensão superficial do líquido (unidade: N/m),
    • \theta é o ângulo de contato entre líquido e parede; \cos\theta é a componente vertical relevante.
  • Peso da coluna de líquido (força para baixo): \;F_{\text{down}}=\text{massa}\cdot g = (\rho\pi r^{2} h)g, onde
    • \rho é a densidade do líquido (kg/m ^3),
    • h é a altura da coluna,
    • g é a aceleração da gravidade (m/s ^2).
  • Equilibrando F_{\text{up}}=F_{\text{down}} e isolando h obtemos a fórmula clássica da subida capilar:
h=\frac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}.
Aqui cada símbolo já foi explicado: h (altura), \gamma (tensão superficial), \theta (ângulo de contato), \rho (densidade), g (gravidade), r (raio).

Passo 3

Comparação entre os dois tubos sem assumir valor do \cos\theta.
  • Como os tubos são do mesmo material, o ângulo de contato \theta é o mesmo para ambos; portanto \cos\theta é um fator comum que se cancela ao comparar alturas relativas.
  • Para os dois casos escrevemos:
h_{\text{eth}}=\frac{2\gamma_{\text{eth}}\cos\theta}{\rho_{\text{eth}} g r_{\text{eth}}},\qquad h_{\text{wat}}=\frac{2\gamma_{\text{wat}}\cos\theta}{\rho_{\text{wat}} g r_{\text{wat}}}.
  • Formando a razão:
\frac{h_{\text{eth}}}{h_{\text{wat}}} =\frac{\gamma_{\text{eth}}}{\gamma_{\text{wat}}}\cdot\frac{\rho_{\text{wat}}}{\rho_{\text{eth}}}\cdot\frac{r_{\text{wat}}}{r_{\text{eth}}}.
  • Agora os raios a partir dos diâmetros dados:
r_{\text{eth}}=\frac{2\\ \text{mm}}{2}=1{,}0\\ \text{mm}=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}, \qquad r_{\text{wat}}=\frac{4\\ \text{mm}}{2}=2{,}0\\ \text{mm}=2{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}.
  • Usaremos valores típicos à temperatura ambiente (valores tabulados):
    • \gamma_{\text{wat}}\approx0{,}0728\\ \text{N/m},
    • \gamma_{\text{eth}}\approx0{,}0223\\ \text{N/m},
    • \rho_{\text{wat}}\approx1000\\ \text{kg/m}^3,
    • \rho_{\text{eth}}\approx789\\ \text{kg/m}^3.
  • Substituindo na razão:
\frac{h_{\text{eth}}}{h_{\text{wat}}} =\frac{0{,}0223}{0{,}0728}\cdot\frac{1000}{789}\cdot\frac{2{,}0\times10^{-3}}{1{,}0\times10^{-3}}.
  • Calculando passo a passo:
\frac{0{,}0223}{0{,}0728}\approx0{,}3066, \qquad \frac{1000}{789}\approx1{,}267, \qquad \frac{2{,}0\times10^{-3}}{1{,}0\times10^{-3}}=2.
\frac{h_{\text{eth}}}{h_{\text{wat}}}\approx0{,}3066\times1{,}267\times2\approx0{,}78.
  • Como essa razão é menor que 1, conclui-se que
h_{\text{eth}}<h_{\text{wat}}.
Ou seja, a altura da coluna é maior no tubo com água (diâmetro 4\\ \text{mm}).

Passo 4

Valores numéricos aproximados (opcional, assumindo \cos\theta=1 para ter ordem de grandeza):
  • Para o álcool:
h_{\text{eth}}=\frac{2\cdot0{,}0223\cdot1}{789\cdot9{,}81\cdot1{,}0\times10^{-3}} \approx\frac{0{,}0446}{7{,}740}\approx5{,}8\\ \text{mm}.
  • Para a água:
h_{\text{wat}}=\frac{2\cdot0{,}0728\cdot1}{1000\cdot9{,}81\cdot2{,}0\times10^{-3}} \approx\frac{0{,}1456}{19{,}62}\approx7{,}4\\ \text{mm}.
  • Esses números confirmam a comparação: \;5{,}8\\ \text{mm}<7{,}4\\ \text{mm}. Se \cos\theta não for 1, ambos os h mudam na mesma proporção e a comparação permanece a mesma (porque \cos\theta cancela na razão).

Passo 5

Interpretação física curta e incentivo:
  • Apesar do tubo de água ter raio maior (o que tende a diminuir a subida), a água tem tensão superficial muito maior que o álcool; esse efeito domina e faz a altura ficar maior na água.
  • Você conseguiu! A ideia-chave que vale decorar para a prova: a subida capilar escala como \gamma/(\rho r). Se quiser, memorizamos isso e já dá pra resolver questões parecidas rapidinho.

Resposta

A altura da coluna será maior no tubo de 4\\ \text{mm} (água).

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