1.88 Um tubo aberto, com 2 mm de diâmetro interno, é inserido num banho de álcool etílico e um outro tubo, similar ao primeiro mas com 4 mm de diâmetro interno, é inserido num banho de água. A altura da coluna de líquido formada será maior em que tubo? Admita que o ângulo de contato seja o mesmo nos dois casos.
Passo 1
O enunciado dá:
- Dois tubos capilares de mesmo material (mesmo ângulo de contato) com diâmetros internos:
- Tubo A (álcool etílico): diâmetro
. - Tubo B (água): diâmetro
.
- Tubo A (álcool etílico): diâmetro
- Cada tubo é inserido em seu respectivo banho (álcool em A, água em B).
A pergunta: em qual dos dois tubos a altura da coluna de líquido formada por capilaridade será maior?
Passo 2
Conceito e fórmula básica (aula curtinha de capilaridade).
- A subida capilar ocorre porque a tensão superficial
age ao longo do perímetro do tubo, puxando o líquido para cima; essa força é equilibrada pelo peso da coluna de líquido. - Força para cima devido à tensão superficial (componente vertical):
, onde -
é o raio interno do tubo, -
é a tensão superficial do líquido (unidade: N/m), -
é o ângulo de contato entre líquido e parede; é a componente vertical relevante.
-
- Peso da coluna de líquido (força para baixo):
, onde -
é a densidade do líquido (kg/m ), -
é a altura da coluna, -
é a aceleração da gravidade (m/s ).
-
- Equilibrando
e isolando obtemos a fórmula clássica da subida capilar:
Aqui cada símbolo já foi explicado:
(altura),
(tensão superficial),
(ângulo de contato),
(densidade),
(gravidade),
(raio).
Passo 3
Comparação entre os dois tubos sem assumir valor do
.
- Como os tubos são do mesmo material, o ângulo de contato
é o mesmo para ambos; portanto é um fator comum que se cancela ao comparar alturas relativas. - Para os dois casos escrevemos:
- Formando a razão:
- Agora os raios a partir dos diâmetros dados:
- Usaremos valores típicos à temperatura ambiente (valores tabulados):
-
, -
, -
, -
.
-
- Substituindo na razão:
- Calculando passo a passo:
- Como essa razão é menor que
, conclui-se que
Ou seja, a altura da coluna é maior no tubo com água (diâmetro
).
Passo 4
Valores numéricos aproximados (opcional, assumindo
para ter ordem de grandeza):
- Para o álcool:
- Para a água:
- Esses números confirmam a comparação:
Se não for , ambos os mudam na mesma proporção e a comparação permanece a mesma (porque cancela na razão).
Passo 5
Interpretação física curta e incentivo:
- Apesar do tubo de água ter raio maior (o que tende a diminuir a subida), a água tem tensão superficial muito maior que o álcool; esse efeito domina e faz a altura ficar maior na água.
- Você conseguiu! A ideia-chave que vale decorar para a prova: a subida capilar escala como
. Se quiser, memorizamos isso e já dá pra resolver questões parecidas rapidinho.
Resposta
A altura da coluna será maior no tubo de
(água).