1.76 Se |u|=3 e |v|=5, determine os valores de x de modo que os vetores u+x v e u-x v sejam: (a) perpendiculares;
(b) paralelos.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores u e v com normas |u|=3 e |v|=5. Precisamos achar os valores de x tais que os vetores
u+xv e u-xv sejam
(a) perpendiculares (uso do produto escalar)
(b) paralelos (uso do produto vetorial ou condição de colinearidade)

Passo 2

Para que u+xv seja perpendicular a u-xv, basta zerar o produto escalar:
(u+xv)cdot(u-xv) = ucdotu - x^2,vcdotv = |u|^2 - x^2|v|^2 = 0
Substituindo |u|=3 e |v|=5 obtém-se
9 - 25x^2 = 0 Longrightarrow x^2 = 925 Longrightarrow x = pm 35

Passo 3

Para que u+xv seja paralelo a u-xv, basta que o produto vetorial seja zero:
(u+xv)times(u-xv) = -2x,(utimesv) = 0
Isto dá duas possibilidades:
1. x=0.
2. utimesv=0, ou seja, u e v já são colineares (caso especial).
Na situação genérica em que u e v não são paralelos, a única solução é x=0.

Resposta

(a) x = pm tfrac35
(b) x = 0 (considerando u e v não paralelos).

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