Definimos Pf(1|x|): Cc^infty(R) C da seguinte maneira
Pf(1|x|)(phi)=lim epsilon 0^+(integral|x| >= epsilon phi(x)|x|+2 phi(0) ln (epsilon))
(1,5 ponto) a) Mostre que Pf(1|x|) é uma distribuição de ordem exatamente igual a 1. (Dica: A distribuição acima se parece com P V(1x) e pode ser estudada de maneira similar. Podemos, por exemplo, usar que phi(x)|x|=phi(x)-phi(0)|x|+phi(0)|x| e a fórmula de Taylor para estudar o limite acima)

Passo 1

O enunciado define a forma linear
Pfl(tfrac1|x|r)(phi) =limepsilonto0^+l(integral|x|>=epsilonphi(x)|x|,dx+2,phi(0),lnepsilonr),
em Cc^infty(Bbb R), e pede para mostrar que isso é uma distribuição (isto é, uma forma linear e contínua) cujo menor inteiro m que aparece no estimador
l|Pf(tfrac1|x|)(phi)r|<= Csum|alpha|<= msupxinBbb R|D^alphaphi(x)|
é exatamente m=1.

Passo 2

Primeiro mostramos existência do limite e linearidade. Escrevemos
Então
Mas
onde é tal que . Logo
e ao deixar o primeiro integral converge (é finito) pois . A forma é visivelmente linear em .

Passo 3

Agora mostramos continuidade de ordem . Pelo Teorema de Taylor em torno de existe entre e tal que
então para ,
Assim,
Isto exibe um estimador da forma
logo ordem .

Passo 4

Para ver que não é de ordem , considere uma família de funções com , e . Então mas
que cresce sem limite quando . Logo não há estimador só com , provando que a ordem mínima é exatamente .

Resposta

A distribuição Pfl(tfrac1|x|r) é de ordem exatamente igual a 1.

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