(1,5 ponto) a) Mostre que é uma distribuição de ordem exatamente igual a 1. (Dica: A distribuição acima se parece com e pode ser estudada de maneira similar. Podemos, por exemplo, usar que e a fórmula de Taylor para estudar o limite acima)
Passo 1
O enunciado define a forma linear
em , e pede para mostrar que isso é uma distribuição (isto é, uma forma linear e contínua) cujo menor inteiro que aparece no estimador
é exatamente m=1.
Passo 2
Primeiro mostramos existência do limite e linearidade. Escrevemos
Então
Mas
onde é tal que . Logo
e ao deixar o primeiro integral converge (é finito) pois . A forma é visivelmente linear em .
Passo 3
Agora mostramos continuidade de ordem . Pelo Teorema de Taylor em torno de existe entre e tal que
então para ,
Assim,
Isto exibe um estimador da forma
logo ordem .
Passo 4
Para ver que não é de ordem , considere uma família de funções com , e . Então mas
que cresce sem limite quando . Logo não há estimador só com , provando que a ordem mínima é exatamente .
Resposta
A distribuição Pfl(tfrac1|x|r) é de ordem exatamente igual a 1.