Exercício 2

Nos itens abaixo, u é uma distribuição em D^prime(R).
(1 Ponto) (a) Ache todas as distribuições u in D^prime(R) que resolvem a equação abaixo:
u^prime=de<a0-de<a1
(1 Ponto) b) Mostre que existe uma função u contínua tal que:
u^prime prime=de<a0-de<a1
Conclua que todas as distribuições u in D^prime(R) que satisfazem a equação acima são contínuas. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas em distribuição:
  1. (a) Resolver
u' = de<a0 - de<a1
na classe D'(R).
2. (b) Mostrar que existe uma função contínua u satisfazendo
u'' = de<a0 - de<a1
e concluir que, em geral, toda distribuição que satisfaz essa mesma equação é contínua.
Conteúdos usados: antiderivada de distribuições (Heaviside), propriedades de linearidade e solução geral adicionando polinômios.

Passo 2

Para (a), note que a heurística é que a derivada de Heaviside dá delta. Definimos a distribuição
H(x)= 0, & x<0, 1, & x>0,
com H'= de<a0. Analogamente, H(x-1)'=de<a1.
Logo, qualquer u que satisfaça
u'=de<a0-de<a1
é da forma
u(x)=H(x) - H(x-1) + C,
onde CinR é constante de integração na distribuição.

Passo 3

Para (b), começamos integrando uma vez
u''=de<a0-de<a1
para obter
u'(x)=H(x)-H(x-1)+C1,
com C1inR. Integramos de novo para achar uma função (no sentido clássico)
u(x)=integral-infty^xl(H(t)-H(t-1)+C1r),dt + C2
u(x) =l[xH(x)r] - l[(x-1)H(x-1)r] + C1,x + C2
Definimos então
u(x)=xH(x);-;(x-1)H(x-1);+;C1,x;+;C2
É fácil verificar que em x=0 e x=1 ambos os trechos coincidem, logo u é contínua em R, e por construção u''=de<a0-de<a1.

Passo 4

A solução geral de u''=de<a0-de<a1 em D'(R) é a soma de uma particular contínua (obtida acima) mais um polinômio de grau <=1, i.e.
u(x)=l[xH(x)-(x-1)H(x-1)r]+A,x+B,
com A,BinR. Como soma de funções contínuas e de um polinômio de grau <=1, toda solução é obrigatoriamente contínua.

Resposta

(a)
u(x)=H(x)-H(x-1)+C, CinR
(b) Uma função contínua particular é
u(x)=xH(x)-(x-1)H(x-1)
A solução geral de
u''=de<a0-de<a1
é
u(x)=xH(x)-(x-1)H(x-1)+A,x+B, A,BinR,
que é contínua em toda R.

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