Exercício 3

O objetivo deste exercício é estudar o limites de certas distribuições:
(1,25 ponto) a) Seja fa: R C dado por fa(x)=api 1x^2+a^2, para a>0. O limite u:=lim a 0^+ fa in D^prime(R) é uma distribuição muito importante que foi vista diversas vezes em sala de aula. Qual é esta distribuição? Justifique.
(1,25 ponto) b) Seja 1 in D^prime(] 0,1[) a distribuição que corresponde a função 1 , ou seja, dado phi in D^prime(] 0,1[) definimos 1(phi):=integral0^1 phi(t) d t. Mostre que o seguinte limite é válido:
lim x 0 sumk=1^2^j-1 12^j de<ak2^j=1, em D^prime(R)

Passo 1

O enunciado pede para estudar dois limites no espaço das distribuições D'(R):
  • No item (a), a família de funções
fa(x)=api,1x^2+a^2, a>0,
e o seu limite u=limato0^+fa.
  • No item (b), a sequência de distribuições
uj=sumk=1^2^j-112^j,de<ak2^j,
e mostrar que limjtoinftyuj=1, onde 1 é a distribuição dada por phimapstointegral0^1phi(t),dt.

Passo 2

(a) Primeiro mostramos que cada fa tem massa total igual a 1. De fato, usando a substituição x=a,t,
integralRfa(x),dx =integral-infty^inftyapi,1x^2+a^2,dx =integral-infty^infty1pi,1t^2+1,dt =1
Isso mostra que (fa) é uma família de núcleos de identidade aproximada. Para ver a convergência em distribuição, tomemos phiinD(R). Então
lang<= fa,phirang<= =integralRfa(x),phi(x),dx =integralR1pi,1t^2+1,phi(a,t),dt
Como phi é suave e compactamente suportada, quando ato0 temos phi(a,t)tophi(0) uniformemente em t. Pelo teorema da convergência dominada,
limato0^+lang<= fa,phirang<= =phi(0)integral-infty^infty1pi,1t^2+1,dt =phi(0)

Passo 3

A condição lang<= u,phirang<==phi(0) para todo phiinD(R) caracteriza exatamente a delta de Dirac de<a0. Logo
limato0^+fa=de<a0 em D'(R)

Passo 4

(b) Definimos
uj(phi) =llang<=sumk=1^2^j-112^j,de<ak2^j,,phirrang<= =sumk=1^2^j-112^j,phil(k2^jr)
Mas essa soma é exatamente a soma de Riemann que aproxima a integral de phi em [0,1] sem incluir os extremos. Como phi é contínua e jtoinfty, obtemos
limjtoinftyuj(phi) =integral0^1phi(t),dt

Passo 5

A distribuição que associa a cada phi o valor integral0^1phi(t),dt é justamente a constante 1 vista como distribuição em ,]0,1[. Portanto
limjtoinftysumk=1^2^j-112^j,de<ak2^j =1 em D'(R)

Resposta

a) de<a0
b) A constante 1 (i.e.\ phi mapsto integral0^1 phi(t), dt).

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