Exercício 3
O objetivo deste exercício é estudar o limites de certas distribuições:
(1,25 ponto) a) Seja
dado por
, para
. O limite
é uma distribuição muito importante que foi vista diversas vezes em sala de aula. Qual é esta distribuição? Justifique.
(1,25 ponto) b) Seja
a distribuição que corresponde a função 1 , ou seja, dado
definimos
. Mostre que o seguinte limite é válido:
(1,25 ponto) a) Seja
(1,25 ponto) b) Seja
Passo 1
O enunciado pede para estudar dois limites no espaço das distribuições
:
- No item (a), a família de funções
e o seu limite
.
- No item (b), a sequência de distribuições
e mostrar que
, onde
é a distribuição dada por
.
Passo 2
(a) Primeiro mostramos que cada
tem massa total igual a
. De fato, usando a substituição
,
Isso mostra que
é uma família de núcleos de identidade aproximada. Para ver a convergência em distribuição, tomemos
. Então
Como
é suave e compactamente suportada, quando
temos
uniformemente em
. Pelo teorema da convergência dominada,
Passo 3
A condição
para todo
caracteriza exatamente a delta de Dirac
. Logo
Passo 4
(b) Definimos
Mas essa soma é exatamente a soma de Riemann que aproxima a integral de
em
sem incluir os extremos. Como
é contínua e
, obtemos
Passo 5
A distribuição que associa a cada
o valor
é justamente a constante
vista como distribuição em
. Portanto
Resposta
a)
b) A constante (i.e.\
).
b) A constante