76 Um plano secciona uma esfera de centro O à distância de 4 cm de 0 , determinando uma seção plana de raio 3 cm . Calcule a área da superfície dessa esfera.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera de centro O. Um plano está a uma distância d=4 cm de O e corta a esfera, produzindo uma seção circular de raio r=3 cm. O conteúdo envolvido é a relação pitagórica em um triângulo retângulo formado pelo raio da esfera R, pela distância d e pelo raio da seção r, e a fórmula da área de superfície de uma esfera.

Passo 2

Pelo teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo que liga o centro da esfera ao ponto da borda da seção, temos
R^2 = d^2 + r^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25
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R = raiz25 = 5 cm

Passo 3

A área de superfície de uma esfera de raio R é dada por
A = 4pi R^2
Substituindo R=5 cm, vem
A = 4pi times 5^2 = 4pi times 25 = 100pi

Resposta

A área da superfície da esfera é 100pi cm^2.

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