Q 77 Seja f(x)=1raizx uma curva. Determine, caso existir: (a) a equação da reta tangente no ponto no ponto da abscissa x=1. (b) o ponto da curva em que a reta tangente tem ângulo de inclinação de 60^circ.

Passo 1

O enunciado considera a curva f(x)=1raizx definida para x>0. Pede: (a) a equação da reta tangente em x=1; (b) o ponto onde a reta tangente forma um ângulo de inclinação de 60^circ. Vamos usar derivadas para obter o coeficiente angular e a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Derivamos f usando a regra de potência: f(x)=x^-1/2 implica
f'(x) = -tfrac12,x^-3/2

Passo 3

Para (a), em x=1 temos f(1)=1 e
f'(1) = -tfrac12
A reta tangente em x=1 satisfaz
y - f(1) = f'(1),(x-1),
logo
y - 1 = -tfrac12,(x-1) Longrightarrow y = -tfrac12,x + tfrac32

Passo 4

Para (b), o ângulo de inclinação theta de uma reta com coeficiente angular m satisfaz m=tantheta. Queremos theta=60^circ, logo
m = tan 60^circ = raiz3
Como
f'(x) = -tfrac12,x^-3/2<0
para todo x>0, não existe x tal que f'(x)=raiz3. Portanto não há ponto que atenda à condição.

Resposta

(a) y = -tfrac12,x + tfrac32
(b) Não existe ponto, pois f'(x)<0 para todo x>0 e não pode igualar raiz3.

Exercícios relacionados