Exercício 13 (S.5.2)

Seja f: R^n R^n de classe C^1 tal que f(0)=0 e lang<= x, f(x)rang<=<0, forall x in R^n. Prove que V: R^n R dado por V(x)=|x|^2 é uma função de Liapunov estrita para o sistema x^prime=f(x) em x=0.

Passo 1

O enunciado dá um sistema
x' = f(x), fcolon R^ntoR^n,;f(0)=0,
com a propriedade
lang<= x,f(x)rang<=<0forall,xneq0
Queremos mostrar que
V(x)=|x|^2
é função de Liapunov estrita em x=0. Para isso lembramos que basta verificar que
  1. V é C^1;
  2. V(0)=0 e V(x)>0 para xneq0 (positiva definida);
  3. a derivada de V ao longo de x'=f(x) é estritamente negativa para xneq0.

Passo 2

Verificação de positividade definida: como
V(x)=|x|^2 = sumi=1^n xi^2,
segue imediatamente que
V(0)=0 e V(x)>0forall,xneq0

Passo 3

Cálculo da derivada de Lie de V. Primeiro,
nabla V(x)=2x
Assim, ao longo de x'=f(x) temos
dot V(x) =nabla V(x)cdot f(x) =2,lang<= x,f(x)rang<=

Passo 4

Pela hipótese lang<= x,f(x)rang<=<0 para todo xneq0, obtemos
dot V(x)=2,lang<= x,f(x)rang<=<0 forall,xneq0
Isso mostra que V tem derivada estritamente negativa fora da origem.

Resposta

V(x)=|x|^2 é uma função de Liapunov estrita para o sistema x'=f(x) em x=0, pois é positiva definida e sua derivada ao longo das soluções satisfaz dot V(x)<0 para todo xneq0.

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