Exercício 13 (S.5.2)
Seja
de classe
tal que
e
. Prove que
dado por
é uma função de Liapunov estrita para o sistema
em
.
Passo 1
O enunciado dá um sistema
com a propriedade
Queremos mostrar que
é função de Liapunov estrita em
. Para isso lembramos que basta verificar que
-
é ; -
e para (positiva definida); - a derivada de
ao longo de é estritamente negativa para .
Passo 2
Verificação de positividade definida: como
segue imediatamente que
Passo 3
Cálculo da derivada de Lie de
. Primeiro,
Assim, ao longo de
temos
Passo 4
Pela hipótese
para todo
, obtemos
Isso mostra que
tem derivada estritamente negativa fora da origem.