Exercício 3.7.6. Calcule o comprimento do arco especificado em cada uma das curvas:
y=x^32, (0,0) e (4,8).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva y = x^3/2 entre os pontos (0,0) e (4,8). O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de arco de uma função y = f(x), usando a fórmula
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2;dx

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de y:
y = x^3/2 Longrightarrow dydx = 32,x^1/2
Substituindo na fórmula, temos
L = integral0^4 raiz1 + l(tfrac32x^1/2r)^2;dx

Passo 3

Simplificamos o integrando:
1 + l(tfrac32x^1/2r)^2 = 1 + 9x4 = 4 + 9x4,
logo
raiz1 + l(y'r)^2 = raiz4 + 9x2,
e assim
L = integral0^4 raiz4 + 9x2;dx = 12integral0^4 raiz4 + 9x;dx

Passo 4

Fazemos a mudança de variável u = 4 + 9x, logo du = 9,dx e quando x=0 temos u=4, quando x=4 temos u=40. Então
integral0^4 raiz4 + 9x;dx = integral4^40 raizu,du9 = 19integral4^40 u^1/2;du

Passo 5

Calculamos o integral em u:
integral u^1/2;du = 23,u^3/2,
então
integral4^40 u^1/2;du = 23l(40^3/2 - 4^3/2r) = 23l((raiz40)^3 - 8r) = 23l(80raiz10 - 8r)
Voltando a L:
L = 12cdot19cdot23l(80raiz10-8r) = 127l(80raiz10-8r)

Resposta

L = 80raiz10 - 827

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