3-77C What is buoyant force? What causes it? What is the magnitude of the buoyant force acting on a submerged body whose volume is V ? What are the direction and the line of action of the buoyant force?

Passo 1

O enunciado faz as seguintes perguntas e dá as seguintes informações:
  1. O que é a força de empuxo? (definição conceitual)
  2. O que causa a força de empuxo? (qual é a origem física)
  3. Qual é a magnitude da força de empuxo que age sobre um corpo totalmente submerso cujo volume é V? (pedem um valor numérico/fórmula)
  4. Qual é a direção e a linha de ação da força de empuxo? (orientação do vetor e onde atua)
    Informação explícita dada: o corpo está submerso e seu volume é V. Não há outros dados numéricos (densidade do fluido e aceleração da gravidade devem ser introduzidos na resolução).

Passo 2

Entender pressão num fluido em equilíbrio (noções básicas e fórmula).
  • Em um fluido em repouso a pressão aumenta com a profundidade porque o fluido de cima “pesa” sobre o fluido de baixo.
  • A expressão básica da pressão hidrostática é
p = p_{\text{superf}} + \rho\,g\,h,
onde:
  • \rho é a massa específica (densidade) do fluido (unidade: \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade (unidade: \mathrm{m/s^2}),
  • h é a profundidade medida desde a superfície livre até o ponto considerado (unidade: \mathrm{m}),
  • p_{\text{superf}} é a pressão na superfície livre (p.ex. pressão atmosférica).
    Explicação didática: conforme descemos, cada camada de fluido acima exerce um peso, que se manifesta como incremento da pressão proporcional à profundidade.

Passo 3

Cálculo do empuxo em um caso simples: um paralelepípedo submerso (ideia e cálculo elementar).
  • Considere um bloco vertical de base de área A e altura h totalmente submerso com a face superior a profundidade h_{\text{top}} e a face inferior a profundidade h_{\text{bot}} = h_{\text{top}} + h.
  • A pressão no topo é \displaystyle p_{\text{top}} = p_{\text{superf}} + \rho g h_{\text{top}}.
  • A pressão na base é \displaystyle p_{\text{bot}} = p_{\text{superf}} + \rho g h_{\text{bot}} = p_{\text{top}} + \rho g h.
  • Forças nas faces horizontais:
    • Força para baixo na face superior: F_{\text{top}} = p_{\text{top}} \, A.
    • Força para cima na face inferior: F_{\text{bot}} = p_{\text{bot}} \, A.
  • A resultante vertical (empuxo) é
F_b = F_{\text{bot}} - F_{\text{top}} = (p_{\text{bot}} - p_{\text{top}})A = (\rho g h) A.
  • Observação: o volume do bloco é V = A h. Substituindo:
F_b = \rho g V.
Interpretação: a diferença de pressão entre cima e baixo gera uma força líquida para cima igual ao peso do fluido que ocuparia esse volume.

Passo 4

Generalização para corpo de forma arbitrária (intuição e esboço matemático simples).
  • Intuição física (método do fluido substituído): imagine que o corpo submerso fosse removido e substituído por fluido igual ao que o rodeia. Esse fluido substituído está em equilíbrio, então as forças hidrostáticas sobre ele somam exatamente ao seu peso. Como as forças hidrostáticas que agiam num volume de fluido são as mesmas que atuariam nas superfícies do corpo que ocupa esse volume, a força resultante sobre o corpo é igual ao peso do fluido deslocado.
  • Esboço matemático (para quem já viu derivadas ou vetores): a força hidrostática sobre a superfície S do corpo é \displaystyle \mathbf{F}_b = -\int_S p\,\mathbf{\hat n}\,dS. Usando que num fluido em equilíbrio \nabla p = \rho \mathbf{g} e aplicando o teorema da divergência, obtém-se
\mathbf{F}_b = -\int_V \nabla p\, dV = -\int_V \rho \mathbf{g}\, dV = -\rho \mathbf{g} V.
Aqui:
  • V é o volume do corpo submerso,
  • \mathbf{g} é o vetor aceleração da gravidade (apontando para baixo); o sinal negativo indica que a força resultante é para cima.
  • Conclusão da generalização: para qualquer corpo totalmente submerso, a magnitude do empuxo é \rho g V.

Passo 5

Escrever a fórmula final da magnitude do empuxo e definir variáveis.
  • Magnitude do empuxo:
F_b = \rho_{\text{fluido}} \, g \, V,
onde:
  • F_b é a força de empuxo (unidade: newton, \mathrm{N}),
  • \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido que envolve o corpo ( \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • V é o volume do corpo totalmente submerso ( \mathrm{m^3}).
  • Observação prática: se o problema der a massa específica do fluido em vez da densidade, é a mesma coisa (massa específica = densidade). Se o corpo estiver imerso num fluido diferente (ex.: água salgada), use a densidade correta.

Passo 6

Direção e linha de ação do empuxo (centro de empuxo / centro de fluido deslocado).
  • Direção: o empuxo é uma força vertical dirigida para cima. Por que? Porque a pressão é maior em profundidades maiores, resultando em uma componente vertical líquida para cima.
  • Linha de ação: o empuxo age através do centro de empuxo (também chamado centro de flutuabilidade ou centro de boiamento), que é o centroide (baricentro) do volume de fluido deslocado. Em termos simples:
    • Para um corpo totalmente submerso, o ponto de aplicação é o centro geométrico do volume do fluido que o corpo substitui (o centroide do volume submerso).
    • Para um corpo parcialmente submerso, o centro de empuxo é o centroide da parte submersa do volume.
  • Consequências: se o centro de empuxo não coincide com o centro de gravidade do corpo, haverá um momento (torque) que tende a rodar o corpo até uma posição de equilíbrio. É por isso que formas e distribuição de massa importam para estabilidade (ex.: um barco).

Passo 7

Resumo físico e exemplos rápidos para fixar (modo de prova).
  • Resumo direto que você pode escrever rápido numa prova: “O empuxo é a força resultante das pressões hidrostáticas sobre um corpo imerso; sua magnitude é igual ao peso do fluido deslocado, F_b=\rho g V, dirigida para cima e atuando através do centro de flutuabilidade (centro do volume deslocado).”
  • Exemplo numérico rápido (para treinar): bloco de V=0{,}02\\ \mathrm{m^3} em água ( \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}), g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. Então F_b=1000\cdot 9{,}8\cdot 0{,}02=196\\ \mathrm{N}.

Resposta

A força de empuxo é a força resultante das pressões hidrostáticas que atuam sobre um corpo imerso; é a força que o fluido “empurra” para cima no corpo.
A causa do empuxo é a variação da pressão com a profundidade no fluido (pressão maior em profundidades maiores), produzindo uma força líquida para cima.
F_b=\rho_{\text{fluido}}\,g\,V
Direção para cima (vertical) e linha de ação passando pelo centro de empuxo (centroide do volume de fluido deslocado).

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