3-78C Consider two identical spherical balls submerged in water at different depths. Will the buoyant forces acting on these two balls be the same or different? Explain.

Passo 1

O enunciado dá duas bolas esféricas idênticas inteiramente submersas em água, mas colocadas a profundidades diferentes. A pergunta é: as forças de empuxo que atuam nessas duas bolas serão iguais ou diferentes?
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • As duas bolas são idênticas (mesmo formato e mesmo volume).
  • Ambas estão submersas em água (presumimos totalmente submersas).
  • Estão em profundidades diferentes.
    O que é pedido: decidir se o empuxo em cada uma é o mesmo ou distinto e explicar por quê.

Passo 2

Conceito fundamental que vamos usar: pressão hidrostática. Em um líquido em equilíbrio, a pressão a uma profundidade h abaixo da superfície é dada por
p = p_{\text{atm}} + \rho g h
onde \rho é a densidade do líquido (aqui, água), g é a aceleração da gravidade e p_{\text{atm}} é a pressão atmosférica na superfície. Explico as variáveis: \rho mede quanta massa do líquido há por unidade de volume; g é aproximadamente 9{,}8\\ \text{m/s}^2; h é a profundidade medida a partir da superfície do líquido até o ponto considerado. Note que a pressão aumenta linearmente com h.

Passo 3

Como o empuxo surge: a pressão atua normal à superfície da esfera. A pressão na face inferior (mais profunda) é maior do que na face superior (menos profunda). Essas pressões resultam em forças normais sobre a superfície; a componente horizontal dessas forças se cancela por simetria, sobrando uma força vertical resultante para cima — o empuxo. Para entender por que essa força depende só do volume deslocado, vejamos um caso simples: um bloco prismático submerso com área da face superior A, face superior a profundidade h_{\text{top}} e face inferior a profundidade h_{\text{bot}}. A força para baixo na face superior é
F_{\text{top}} = p_{\text{top}} A = \bigl(p_{\text{atm}} + \rho g h_{\text{top}}\bigr)A
e a força para cima na face inferior é
F_{\text{bot}} = p_{\text{bot}} A = \bigl(p_{\text{atm}} + \rho g h_{\text{bot}}\bigr)A.
A resultante vertical é
F_{\text{up}} - F_{\text{down}} = F_{\text{bot}} - F_{\text{top}} = \rho g (h_{\text{bot}} - h_{\text{top}}) A.
Mas (h_{\text{bot}} - h_{\text{top}})A é justamente o volume V_{\text{slice}} do bloco. Logo o resultado é
F_{\text{net}} = \rho g V_{\text{slice}}.

Passo 4

Generalizando para um corpo qualquer totalmente submerso: podemos imaginar dividir o corpo em muitos fatias horizontais finas (cada fatia é um bloco como acima). A resultante total é a soma dos empuxos das fatias; somando dá
F_b = \rho g V
onde V é o volume total de fluido deslocado pelo corpo (ou seja, o volume do corpo, se totalmente submerso). Esta é a fórmula clássica de Arquimedes. Explicando: o empuxo F_b é igual ao peso do fluido que foi “empurrado para fora” pelo corpo submerso. Variáveis: F_b é a magnitude do empuxo, \rho é a densidade do líquido, g a gravidade e V o volume deslocado.

Passo 5

Aplicando ao nosso problema: as duas bolas são idênticas, logo têm o mesmo volume V. Assumindo água com densidade praticamente constante entre as duas profundidades (situação usual), \rho e g são as mesmas para ambas. Pela fórmula de Arquimedes
F_b = \rho g V
o empuxo depende apenas de \rho, g e V — não depende da profundidade h. Portanto, ambas as bolas recebem o mesmo empuxo.

Passo 6

Observações e exceções (para você não ser pego de surpresa na prova):
  • Em condições normais de laboratório ou prova, a densidade da água \rho é considerada constante com a profundidade, então a conclusão acima vale sem ressalvas.
  • Em profundidades extremamente grandes, a pressão pode alterar ligeiramente a densidade da água (compressibilidade), ou a própria esfera pode se comprimir mudando seu volume V. Nesses casos reais muito extremos, pode haver pequenas diferenças no empuxo. Mas esses efeitos são geralmente desprezíveis para problemas típicos de física básica.
  • Se as bolas não estiverem totalmente submersas (flutuando parcialmente), aí outros argumentos entram (equilíbrio peso = empuxo) — mas o enunciado disse submersas.

Passo 7

Resumo intuitivo e motivador: embora a pressão seja maior em maior profundidade, a diferença de pressão entre cima e baixo de cada esfera depende só da altura do corpo e da densidade do líquido, e não da profundidade absoluta. Para duas esferas iguais a diferença de pressão entre topo e fundo produz o mesmo empuxo em ambas. Você já ganhou a ideia-chave que cai em praticamente todas as questões de empuxo — ótimo!

Resposta

As forças de empuxo são iguais para as duas esferas; F_b=\rho g V para ambas.

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