3-78C Consider two identical spherical balls submerged in water at different depths. Will the buoyant forces acting on these two balls be the same or different? Explain.
Passo 1
O enunciado dá duas bolas esféricas idênticas inteiramente submersas em água, mas colocadas a profundidades diferentes. A pergunta é: as forças de empuxo que atuam nessas duas bolas serão iguais ou diferentes?
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- As duas bolas são idênticas (mesmo formato e mesmo volume).
- Ambas estão submersas em água (presumimos totalmente submersas).
- Estão em profundidades diferentes.
O que é pedido: decidir se o empuxo em cada uma é o mesmo ou distinto e explicar por quê.
Passo 2
Conceito fundamental que vamos usar: pressão hidrostática. Em um líquido em equilíbrio, a pressão a uma profundidade
abaixo da superfície é dada por
onde
é a densidade do líquido (aqui, água),
é a aceleração da gravidade e
é a pressão atmosférica na superfície. Explico as variáveis:
mede quanta massa do líquido há por unidade de volume;
é aproximadamente
;
é a profundidade medida a partir da superfície do líquido até o ponto considerado. Note que a pressão aumenta linearmente com
.
Passo 3
Como o empuxo surge: a pressão atua normal à superfície da esfera. A pressão na face inferior (mais profunda) é maior do que na face superior (menos profunda). Essas pressões resultam em forças normais sobre a superfície; a componente horizontal dessas forças se cancela por simetria, sobrando uma força vertical resultante para cima — o empuxo. Para entender por que essa força depende só do volume deslocado, vejamos um caso simples: um bloco prismático submerso com área da face superior
, face superior a profundidade
e face inferior a profundidade
. A força para baixo na face superior é
e a força para cima na face inferior é
A resultante vertical é
Mas
é justamente o volume
do bloco. Logo o resultado é
Passo 4
Generalizando para um corpo qualquer totalmente submerso: podemos imaginar dividir o corpo em muitos fatias horizontais finas (cada fatia é um bloco como acima). A resultante total é a soma dos empuxos das fatias; somando dá
onde
é o volume total de fluido deslocado pelo corpo (ou seja, o volume do corpo, se totalmente submerso). Esta é a fórmula clássica de Arquimedes. Explicando: o empuxo
é igual ao peso do fluido que foi “empurrado para fora” pelo corpo submerso. Variáveis:
é a magnitude do empuxo,
é a densidade do líquido,
a gravidade e
o volume deslocado.
Passo 5
Aplicando ao nosso problema: as duas bolas são idênticas, logo têm o mesmo volume
. Assumindo água com densidade praticamente constante entre as duas profundidades (situação usual),
e
são as mesmas para ambas. Pela fórmula de Arquimedes
o empuxo depende apenas de
,
e
— não depende da profundidade
. Portanto, ambas as bolas recebem o mesmo empuxo.
Passo 6
Observações e exceções (para você não ser pego de surpresa na prova):
- Em condições normais de laboratório ou prova, a densidade da água
é considerada constante com a profundidade, então a conclusão acima vale sem ressalvas. - Em profundidades extremamente grandes, a pressão pode alterar ligeiramente a densidade da água (compressibilidade), ou a própria esfera pode se comprimir mudando seu volume
. Nesses casos reais muito extremos, pode haver pequenas diferenças no empuxo. Mas esses efeitos são geralmente desprezíveis para problemas típicos de física básica. - Se as bolas não estiverem totalmente submersas (flutuando parcialmente), aí outros argumentos entram (equilíbrio peso = empuxo) — mas o enunciado disse submersas.
Passo 7
Resumo intuitivo e motivador: embora a pressão seja maior em maior profundidade, a diferença de pressão entre cima e baixo de cada esfera depende só da altura do corpo e da densidade do líquido, e não da profundidade absoluta. Para duas esferas iguais a diferença de pressão entre topo e fundo produz o mesmo empuxo em ambas. Você já ganhou a ideia-chave que cai em praticamente todas as questões de empuxo — ótimo!
Resposta
As forças de empuxo são iguais para as duas esferas;
para ambas.